Квантовая статистика Ферми-Дирака. Электронный газ. Мартинсон Л.К - 2 стр.

                                                                                             2
частица 2. Поэтому в квантовой механике при перестановке двух одинаковых частиц не возни-
кает нового состояния системы. Оно остается абсолютно тем же, что и до перестановки. С точ-
ки зрения квантовой механики одинаковые частицы принципиально неразличимы, тождествен-
ны; можно говорить о состоянии системы одинаковых частиц только в целом, а не о состоянии
каждой частицы в отдельности.
       Это положение формулируют в виде принципа тождественности одинаковых частиц: в
системе одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при пе-
рестановке местами двух любых частиц. Это очень важный квантово-механический принцип.
Он логически не вытекает из основных положений квантовой механики, но и не противоречит
им. Его справедливость подтверждается всей совокупностью экспериментальных данных.
       Проанализируем вид волновой функции системы, состоящей из двух одинаковых частиц.
Отвлекаясь от ее зависимости от времени, волновую функцию можно записать в виде
                                        ψ=ψ (q1, q2).
       Переставив местами частицы 1 и 2, мы получим функцию ψ (q2, q1). Эту операцию мож-
                                                                           ! , который ме-
но рассматривать как действие на функцию ψ (q1, q2) оператора перестановки P
няет частицы местами:
                             !ψ ( q ,q ) = ψ ( q ,q ) = Pψ ( q ,q )
                             P     1  2         1  2          1  2
Переставив эти частицы еще раз, получаем
                        ! 2 ψ ( q ,q ) = P
                        P                !ψ ( q ,q ) = ψ ( q ,q ) = P 2 ψ ( q ,q ) .
                                 1  2          2  1         1  2             1  2

Отсюда следует, что
                                             P2=1, а P= ± 1.
       Таким образом, для квантово- механической системы, состоящей из тождественных час-
тиц, возможны два вида волновых функций.
1. Симметричная волновая функция
                                         ψS (q1, q2)= ψS (q2, q1).
Эта волновая функция при перестановке частиц не меняется.
2. Антисимметричная волновая функция
                                        ψA (q1, q2)=- ψA (q2, q1).
Эта волновая функция при перестановке частиц меняет знак.
       Полученные результаты можно обобщить на систему, состоящую из произвольного чис-
ла тождественных частиц. При этом симметрия или антисимметрия волновой функции имеет
место при перестановке любых двух одинаковых частиц.
       Частицы, состояние которых описывается симметричными волновыми функциями, на-
зываются бозе- частицами, или бозонами. Такое название они получили потому, что состоящие
из них системы подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятся фотоны, π-
мезоны, К- мезоны и другие частицы с нулевым или целым спином.
       Частицы, состояние которых описывается антисимметричными волновыми функциями,
называют ферми- частицами, или фермионами. Такое название связано с тем, что системы, со-
стоящие из этих частиц, подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионам относятся
электроны, протоны, нейтроны и другие частицы с полуцелым спином.
       Эта связь между спином частицы и статистикой справедлива и для сложных частиц, ко-
торые состоят из элементарных, например, атомных ядер, атомов, молекул и т. д. Сложные час-
тицы, состоящие из нечетного числа фермионов, являются фермионами, а из четного числа –
бозонами. Например ядро атома 42 He , т. е. α-частица, состоит из двух протонов и двух нейтро-
нов. Спин этого ядра равен нулю, т. е. оно является бозоном. Бозоном будет и сам атом 42 He в
нормальном состоянии. А ядро легкого изотопа гелия – атома 32 He - состоит из нечетного числа
(трех) частиц со спинами 1/2: двух протонов и одного нейтрона. Спин этого ядра будет полуце-
лым, следовательно, оно является фермионом. Фермионом будет и сам атом 32 He .