Составители:
7
Способ 1. Ферми- газ будет вырожденным, если его температура Т будет ниже темпера-
туры вырождения T
F
, определяемой соотношением (5), т. е.
()
2
2
2
3
0
3
2
Tn.
km
<π
"
Этот способ решения позволяет сразу получить ответ, однако физическое содержание задачи
более подробно раскрывается во втором способе решения.
Способ 2. Газ является вырожденным, если среднее расстояние между его частицами а
будет порядка или меньше средней длины волны де Бройля частиц λ
Б
, т. е.
a<λ
Б
.
Именно в этом случае проявляются квантовые свойства частиц, и одинаковые частицы стано-
вятся неразличимыми.
Поскольку
()
1
3
1
2
0
2
а
2
Б
an, ,
mE
−
π
=λ=
"
где Е – средняя энергия частиц, то это условие принимает вид
()
1
3
1
2
0
2
2
n
mE
−
π
<
"
или
2
22
3
0
2
En.
m
π
<
"
Поскольку среднее значение энергии частиц ферми- газа при температуре Т
E>kT,
то для оценки Т получаем соотношение
2
22
3
0
2
Tn.
km
π
<
"
Отметим, что найденное значение T совпадает по порядку величины с температурой вырожде-
ния, определяемой соотношением (5).
Задача 2. Оценить энергию Ферми E
F
для меди, считая, что на каждый атом меди приходится
по одному свободному электрону.
Решение. Энергия Ферми при не очень высоких температурах зависит от температуры слабо.
Так, согласно (9), при kT<< E
F
.
()
()
2
2
01
12 0
FF
F
kT
EE .
E
π
≅−
Поскольку неравенство kT<< E
F
(0) выполняется в широком диапазоне температур вплоть до
температуры плавления меди, то с достаточно точностью можно считать, что
()
()
2
2
2
3
03
2
FF
EE n.
m
≅=π
"
Для того чтобы оценить величину E
F
, нужно знать концентрацию свободных электронов n. По
условию задачи эта концентрация равна концентрации атомов меди n
ат
. Найдем ее.
Относительная атомная масса меди A
r
=63,5, плотность ρ=8,93⋅10
3
кг/м
3
, молярная масса
М=0,0635 кг/моль. Число молей, содержащихся в единице объема веществ, равно
.
M
ρ
ν=
Количество частиц в одном моле определяется числом Авогадро N
A
, следовательно, число ато-
мов меди в единице объема, т.е. концентрация атомов меди n
ат
, равна
7
Способ 1. Ферми- газ будет вырожденным, если его температура Т будет ниже темпера-
туры вырождения TF, определяемой соотношением (5), т. е.
2
"2
T<
2km0
( 3π2 n )3 .
Этот способ решения позволяет сразу получить ответ, однако физическое содержание задачи
более подробно раскрывается во втором способе решения.
Способ 2. Газ является вырожденным, если среднее расстояние между его частицами а
будет порядка или меньше средней длины волны де Бройля частиц λБ, т. е.
a<λБ.
Именно в этом случае проявляются квантовые свойства частиц, и одинаковые частицы стано-
вятся неразличимыми.
Поскольку
−
1
2π"
a = n 3 , а λБ = 1
,
( 2m0 E ) 2
где Е – средняя энергия частиц, то это условие принимает вид
−
1
2π"
n 3
< 1
( 2m0 E )2
или
2
2π 2 " 2 3
E< n .
m0
Поскольку среднее значение энергии частиц ферми- газа при температуре Т
E>kT,
то для оценки Т получаем соотношение
2
2 π2 " 2 3
T< n .
km0
Отметим, что найденное значение T совпадает по порядку величины с температурой вырожде-
ния, определяемой соотношением (5).
Задача 2. Оценить энергию Ферми EF для меди, считая, что на каждый атом меди приходится
по одному свободному электрону.
Решение. Энергия Ферми при не очень высоких температурах зависит от температуры слабо.
Так, согласно (9), при kT<< EF .
π2 kT 2
EF ≅ EF (0 ) 1 − .
12 EF (0 )
Поскольку неравенство kT<< EF(0) выполняется в широком диапазоне температур вплоть до
температуры плавления меди, то с достаточно точностью можно считать, что
2
"2
EF ≅ EF ( 0 ) =
2m
(3π n )3 .
2
Для того чтобы оценить величину EF, нужно знать концентрацию свободных электронов n. По
условию задачи эта концентрация равна концентрации атомов меди nат. Найдем ее.
Относительная атомная масса меди Ar=63,5, плотность ρ=8,93⋅103 кг/м3, молярная масса
М=0,0635 кг/моль. Число молей, содержащихся в единице объема веществ, равно
ρ
ν= .
M
Количество частиц в одном моле определяется числом Авогадро NA, следовательно, число ато-
мов меди в единице объема, т.е. концентрация атомов меди nат, равна
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
