Составители:
13
Коэффициент сжимаемости электронного газа можно также выразить через энергию Ферми
E
F
(0). С учетом (3) получаем
()
()
()
23
5
2
3
2
0
36
0
8
F
E
m
−
π
α=
"
.
Взяв значение энергии Ферми для меди E
F
(0)=7,1 эВ=1,14⋅10
-18
Дж, получаем численное значе-
ние для коэффициента сжимаемости электронного газа в меди
()
()
()
()
3
2
35
5
18 11 1 6 1
2
3
31
2
36 3 14 1 05 10
1 14 10 1 33 10 Па 135 10 атм
89110
,,
,, ,
,
−
−
−−−−−
−
⋅
α= ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅⋅
.
Отметим, что давление электронного газа является одним из основных факторов, определяю -
щих сжимаемость металлов.
5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Концентрация свободных электронов в металлическом натрии n=2,5⋅10
23
см
-3
. Воспользо-
вавшись уравнением для давления идеального газа, найдите давление электронного газа в на-
трии при T=0.
Ответ:
()
52
2
3
2
0
35 ГПа
15
pn
m
=π=
π
"
.
2. Часто при расчетах пренебрегают различием значений E
F
(T) и E
F
(0). Оцените, на сколько
процентов отличается E
F
(T) от E
F
(0) для вольфрама при температуре, близкой к его температу-
ре плавления (T=3643 K). Считайте, что на каждый атом вольфрама приходится два свободных
электрона.
Ответ:
() ()
()
0
01 %
0
FF
F
ET E
,
E
−
=
.
3. Найдите отношение концентрации свободных электронов в литии и цезии
Li Cs
/nn
, при T=0,
если энергии Ферми в этих металлах соответственно равны
Li
472 эВ
F
E,
=
и
Cs
153 эВ
F
E,= .
Ответ:
3
Li Li
2
Cs Cs
55
F
F
nE
,
nE
=≅
.
4. Во сколько раз число свободных электронов, приходящих ся на один атом металла при T=0,
больше в алюминии, чем в меди, если энергии Ферми в этих металлах соответственно равны
Al
11,7 эВ
F
E
=
,
Cs
7 эВ
F
E
=
?
Ответ:
3
Al Al
2
CuAl
Cu Cu
Al Al
3
F
F
ME
ME
ρ
β
=⋅ ≅
βρ
.
5. Какая часть свободных электронов в металле при T=0 имеет кинетическую энергию, превы-
шающую половину максимальной?
Ответ:
065
N
,
N
∆
≅
.
6. Металл находится при температуре T=0. Найдите, во сколько раз число электронов с кинети-
ческой энергией от
2
F
E
до E
F
больше числа электронов с энергией от 0 до
2
F
E
.
Ответ: В
()
81
−
раз.
13
Коэффициент сжимаемости электронного газа можно также выразить через энергию Ферми
EF(0). С учетом (3) получаем
36π2 "3 5
( )
−
α= 3
E F ( 0 ) 2 .
(8m0 )2
Взяв значение энергии Ферми для меди EF(0)=7,1 эВ=1,14⋅10-18 Дж, получаем численное значе-
ние для коэффициента сжимаемости электронного газа в меди
36 (3,14 ) (1, 05 ⋅10−35 )
2 3
5
(1,14 ⋅10−18 )
−
α= 3
2 = 1,33 ⋅10 −11 Па −1 = 1,35 ⋅10 −6 атм −1 .
(8 ⋅ 9,1⋅10 )
−31 2
Отметим, что давление электронного газа является одним из основных факторов, определяю-
щих сжимаемость металлов.
5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Концентрация свободных электронов в металлическом натрии n=2,5⋅1023 см-3. Воспользо-
вавшись уравнением для давления идеального газа, найдите давление электронного газа в на-
трии при T=0.
"2 5
Ответ: p =
15π2 m0
(3π n )3 = 5 ГПа .
2
2. Часто при расчетах пренебрегают различием значений EF(T) и EF(0). Оцените, на сколько
процентов отличается EF(T) от EF(0) для вольфрама при температуре, близкой к его температу-
ре плавления (T=3643 K). Считайте, что на каждый атом вольфрама приходится два свободных
электрона.
EF (T ) − EF ( 0 )
Ответ: = 0 ,1 % .
EF ( 0 )
Li Cs
3. Найдите отношение концентрации свободных электронов в литии и цезии n /n , при T=0,
если энергии Ферми в этих металлах соответственно равны EFLi = 4 , 72 эВ и EFCs = 1,53 эВ .
3
n Li EFLi 2
Ответ: Cs = Cs ≅ 5,5 .
n EF
4. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при T=0,
больше в алюминии, чем в меди, если энергии Ферми в этих металлах соответственно равны
EFAl = 11, 7 эВ , EFCs = 7 эВ ?
3
βAl M ρ E Al 2
Ответ: Cu = Al ⋅ Cu FCu ≅ 3 .
β M Al ρAl EF
5. Какая часть свободных электронов в металле при T=0 имеет кинетическую энергию, превы-
шающую половину максимальной?
∆N
Ответ: ≅ 0 , 65 .
N
6. Металл находится при температуре T=0. Найдите, во сколько раз число электронов с кинети-
ческой энергией от EF до EF больше числа электронов с энергией от 0 до EF .
2 2
Ответ: В ( )
8 − 1 раз.
