Элементы квантовой механики. Мартинсон Л.К - 14 стр.

          Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике      13


3   Задачи о стационарных состояниях в кван-
    товой механике
Если потенциальная энергия частицы U (x, y, z) в некотором силовом по-
ле явно не зависит от времени, то полная энергия частицы E со вре-
менем не изменяется, и соответствующую задачу квантовой механики
называют стационарной задачей, или задачей о стационарных состояни-
ях. Решение общего временного уравнения Шрёдингера в стационарной
задаче может быть записано в виде
                                                   i
                     Ψ(x, y, z, t) = Ψ(x, y, z)e− ~ Et .          (3.25)

Поскольку временной множитель в (3.25) известен, то основное внима-
ние мы будем уделять координатной части Ψ(x, y, z), которую и называ-
ют волновой функцией стационарной задачи. Такая волновая функция
Ψ(x, y, z) зависит только от пространственных координат и удовлетворя-
ет уравнению Шрёдингера для стационарных состояний

                              ~2
                         −       ∆Ψ + U Ψ = EΨ                    (3.26)
                             2m0
или в другой форме записи
                               2m0
                        ∆Ψ +       (E − U )Ψ = 0                  (3.27)
                                ~2
Конкретный вид силового поля в стационарной задаче квантовой меха-
ники определяется заданием потенциальной энергии частицы U (x, y, z).
В этих задачах плотность вероятности обнаружения частицы (но не сама
волновая функция Ψ) не зависит явно от времени:

                     dP
                w=      = |Ψ(x, y, z, t)|2 = |Ψ(x, y, z)|2 .
                     dV
   Рассмотрим некоторые примеры задач о стационарных состояниях в
квантовой механике.

Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими
стенками. В этой одномерной задаче потенциальная энергия частицы