Элементы квантовой механики. Мартинсон Л.К - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Измерение физических величин в квантовомеханических системах 25
соответствующих им операторов
ˆ
F и
ˆ
G, т.е. выполнение равенства
[
ˆ
F ,
ˆ
G] ≡
ˆ
F
ˆ
G −
ˆ
G
ˆ
F = 0 . (4.49)
Оператор [
ˆ
F ,
ˆ
G] называется коммутатором операторов
ˆ
F и
ˆ
G.
4.1 Примеры решения задач
☞ Задача.4.I. Частица массой m
0
находится в одномерной беско-
нечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной a в первом
возбуждённом состоянии. Найдите среднее значение проекции импульса
частицы hp
x
i и квадрата импульса hp
2
i.
☞ Решение.Волновая функция частицы в одномерной бесконечно
глубокой прямоугольной потенциальной яме имеет вид /см. (refeq3.3)/
Ψ
2
(x) =
s
2
a
sin
2πx
a
,
где n = 1, 2, 3, . . .. Первому возбуждённому состоянию частицы соответ-
ствует значение n = 2. Решим сначала задачу в общем случае для про-
извольного значения квантового числа n, а потом в полученное решение
подставим значение n = 2.
Согласно (4.48) среднее значение проекции импульса
hp
x
i =
a
Z
0
Ψ
∗
n
(x)ˆp
2
Ψ
n
(x) dx =
=
~
i
·
2
a
a
Z
0
sin
πnx
a
∂
∂x
sin
πnx
a
dx =
~
ia
sin
2
πnx
a
a
0
= 0
(4.50)
Таким образом, hp
x
i = 0. Существенно, что ответ не зависит от n, т.е. от
уровня, на котором находится частица в потенциальной яме. Более того,
можно показать, что результат, полученный здесь для конкретного ви-
да потенциальной ямы, оказывается справедливым и для более общего
случая: среднее значение проекции импульса частицы, которая в ста-
ционарном состоянии имеет дискретный энергетический спектр, равно
нулю.
Интересно отметить, что значение hp
x
i = 0 для частицы в яме по-
лучается и в классической механике. Для классической частицы этот
        Измерение физических величин в квантовомеханических системах      25


соответствующих им операторов F̂ и Ĝ, т.е. выполнение равенства

                            [F̂ , Ĝ] ≡ F̂ Ĝ − ĜF̂ = 0 .             (4.49)

Оператор [F̂ , Ĝ] называется коммутатором операторов F̂ и Ĝ.

4.1    Примеры решения задач
☞ Задача.4.I. Частица массой m0 находится в одномерной беско-
нечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной a в первом
возбуждённом состоянии. Найдите среднее значение проекции импульса
частицы hpx i и квадрата импульса hp2 i.
   ☞ Решение.Волновая функция частицы в одномерной бесконечно
глубокой прямоугольной потенциальной яме имеет вид /см. (refeq3.3)/
                                        s
                                            2     2πx
                             Ψ2 (x) =         sin     ,
                                            a      a
где n = 1, 2, 3, . . .. Первому возбуждённому состоянию частицы соответ-
ствует значение n = 2. Решим сначала задачу в общем случае для про-
извольного значения квантового числа n, а потом в полученное решение
подставим значение n = 2.
   Согласно (4.48) среднее значение проекции импульса
             Za
      hpx i = Ψ∗n (x)p̂2 Ψn (x) dx =
             0
               Za                                                      (4.50)
           ~ 2        πnx ∂
                            
                                  πnx
                                      
                                             ~       πnx     a
          = ·     sin         sin       dx =    sin2             =0
           i a         a ∂x        a         ia       a      0
                   0

Таким образом, hpx i = 0. Существенно, что ответ не зависит от n, т.е. от
уровня, на котором находится частица в потенциальной яме. Более того,
можно показать, что результат, полученный здесь для конкретного ви-
да потенциальной ямы, оказывается справедливым и для более общего
случая: среднее значение проекции импульса частицы, которая в ста-
ционарном состоянии имеет дискретный энергетический спектр, равно
нулю.
   Интересно отметить, что значение hpx i = 0 для частицы в яме по-
лучается и в классической механике. Для классической частицы этот

Страницы