Элементы квантовой механики. Мартинсон Л.К - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Измерение физических величин в квантовомеханических системах 26
результат очевиден, так как частица движется вдоль одной оси, отра-
жаясь от стенок ямы, а её импульс направлен то в одну, то в другую,
противоположную первоначальной сторону. Поэтому среднее значение
hp
x
i равно нулю.
Вычислим теперь среднее значение квадрата импульса hp
2
i. Посколь-
ку мы имеем дело с одномерным случаем, то
hp
2
i = hp
2
x
i = −~
2
∂
2
∂x
2
.
В соответствии с (4.48) для hp
2
i находим
hp
2
i =
a
Z
0
Ψ
∗
n
(x)ˆp
2
Ψ
n
(x)dx = −~
2
2
a
a
Z
0
sin
πnx
a
∂
2
∂x
2
πnx
a
dx =
=
−
2~
2
a
!
−
π
2
n
2
a
2
!
a
Z
0
sin
2
∂
2
∂d
2
x =
2~
2
a
·
πn
2
a
2
·
a
2
.
00000000000000000 (4.51)
Таким образом, hp
2
i =
π
2
~
2
n
2
a
2
. Подставляя значение n = 2, получаем
окончательный ответ
hp
2
i
n=2
=
4π
2
~
2
a
2
.
Отметим, что хотя среднее значение проекции импульса hp
x
i равно нулю,
среднее значение квадрата импульса hp
2
i отлично от нуля.
☞ Задача.4.2. Определите возможные результаты измерения про-
екции момента импульса L
z
и их вероятности для частицы, находящейся
в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ(ϕ) = A cos
2
ϕ, где ϕ —
азимутальный угол.
☞ Решение.Прежде всего найдём нормировочную константу A.
Из условия нормировки следует, что
2π
Z
0
Ψ
∗
(ϕ)Ψ(ϕ) dϕ = A
2
2π
Z
0
cos
4
ϕ dϕ .
Поскольку
R
2π
0
cos
4
ϕ dϕ =
3π
4
, то для A получаем следующее значение:
A =
2
√
3π
. Таким образом,
Ψ(ϕ) =
2
√
3π
cos
2
ϕ .
      Измерение физических величин в квантовомеханических системах                       26


результат очевиден, так как частица движется вдоль одной оси, отра-
жаясь от стенок ямы, а её импульс направлен то в одну, то в другую,
противоположную первоначальной сторону. Поэтому среднее значение
hpx i равно нулю.
    Вычислим теперь среднее значение квадрата импульса hp2 i. Посколь-
ку мы имеем дело с одномерным случаем, то
                                                                ∂2
                               hp2 i = hp2x i = −~2                 .
                                                                ∂x2
В соответствии с (4.48) для hp2 i находим
        Za                         Za
                                 2        πnx ∂ 2 πnx
                                                     
   2     ∗      2              2
 hp i = Ψn (x)p̂ Ψn (x)dx = −~        sin               dx =
                                 a         a ∂x2   a
        0                                           0
                                             ! Za
                    2~2            π 2 n2                  ∂2      2~2 πn2 a
                           !
              = −              −                    sin2       x =    · 2 · .
                     a              a2                     ∂d2      a   a  2
                                               0
                                                                    00000000000000000 (4.51)
                               π 2 ~2 n2
Таким образом, hp2 i =             a2
                                         .   Подставляя значение n = 2, получаем
окончательный ответ
                                    4π 2 ~2
                                    hp2 in=2 =
                                             .
                                      a2
Отметим, что хотя среднее значение проекции импульса hpx i равно нулю,
среднее значение квадрата импульса hp2 i отлично от нуля.
   ☞ Задача.4.2. Определите возможные результаты измерения про-
екции момента импульса Lz и их вероятности для частицы, находящейся
в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ(ϕ) = A cos2 ϕ, где ϕ —
азимутальный угол.
   ☞ Решение.Прежде всего найдём нормировочную константу A.
Из условия нормировки следует, что
                   Z
                   2π                    Z
                                         2π
                       ∗               2
                      Ψ (ϕ)Ψ(ϕ) dϕ = A      cos4 ϕ dϕ .
                       0                                    0
             R2π   4               3π
Поскольку 0 cos ϕ dϕ =              4
                                      ,   то для A получаем следующее значение:
A = √23π . Таким образом,
                                         2
                                 Ψ(ϕ) = √ cos2 ϕ .
                                         3π

Страницы