Составители:
Измерение физических величин в квантовомеханических системах 26
результат очевиден, так как частица движется вдоль одной оси, отра-
жаясь от стенок ямы, а её импульс направлен то в одну, то в другую,
противоположную первоначальной сторону. Поэтому среднее значение
hp
x
i равно нулю.
Вычислим теперь среднее значение квадрата импульса hp
2
i. Посколь-
ку мы имеем дело с одномерным случаем, то
hp
2
i = hp
2
x
i = −~
2
∂
2
∂x
2
.
В соответствии с (4.48) для hp
2
i находим
hp
2
i =
a
Z
0
Ψ
∗
n
(x)ˆp
2
Ψ
n
(x)dx = −~
2
2
a
a
Z
0
sin
πnx
a
∂
2
∂x
2
πnx
a
dx =
=
−
2~
2
a
!
−
π
2
n
2
a
2
!
a
Z
0
sin
2
∂
2
∂d
2
x =
2~
2
a
·
πn
2
a
2
·
a
2
.
00000000000000000 (4.51)
Таким образом, hp
2
i =
π
2
~
2
n
2
a
2
. Подставляя значение n = 2, получаем
окончательный ответ
hp
2
i
n=2
=
4π
2
~
2
a
2
.
Отметим, что хотя среднее значение проекции импульса hp
x
i равно нулю,
среднее значение квадрата импульса hp
2
i отлично от нуля.
☞ Задача.4.2. Определите возможные результаты измерения про-
екции момента импульса L
z
и их вероятности для частицы, находящейся
в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ(ϕ) = A cos
2
ϕ, где ϕ —
азимутальный угол.
☞ Решение.Прежде всего найдём нормировочную константу A.
Из условия нормировки следует, что
2π
Z
0
Ψ
∗
(ϕ)Ψ(ϕ) dϕ = A
2
2π
Z
0
cos
4
ϕ dϕ .
Поскольку
R
2π
0
cos
4
ϕ dϕ =
3π
4
, то для A получаем следующее значение:
A =
2
√
3π
. Таким образом,
Ψ(ϕ) =
2
√
3π
cos
2
ϕ .
Измерение физических величин в квантовомеханических системах 26 результат очевиден, так как частица движется вдоль одной оси, отра- жаясь от стенок ямы, а её импульс направлен то в одну, то в другую, противоположную первоначальной сторону. Поэтому среднее значение hpx i равно нулю. Вычислим теперь среднее значение квадрата импульса hp2 i. Посколь- ку мы имеем дело с одномерным случаем, то ∂2 hp2 i = hp2x i = −~2 . ∂x2 В соответствии с (4.48) для hp2 i находим Za Za 2 πnx ∂ 2 πnx 2 ∗ 2 2 hp i = Ψn (x)p̂ Ψn (x)dx = −~ sin dx = a a ∂x2 a 0 0 ! Za 2~2 π 2 n2 ∂2 2~2 πn2 a ! = − − sin2 x = · 2 · . a a2 ∂d2 a a 2 0 00000000000000000 (4.51) π 2 ~2 n2 Таким образом, hp2 i = a2 . Подставляя значение n = 2, получаем окончательный ответ 4π 2 ~2 hp2 in=2 = . a2 Отметим, что хотя среднее значение проекции импульса hpx i равно нулю, среднее значение квадрата импульса hp2 i отлично от нуля. ☞ Задача.4.2. Определите возможные результаты измерения про- екции момента импульса Lz и их вероятности для частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ(ϕ) = A cos2 ϕ, где ϕ — азимутальный угол. ☞ Решение.Прежде всего найдём нормировочную константу A. Из условия нормировки следует, что Z 2π Z 2π ∗ 2 Ψ (ϕ)Ψ(ϕ) dϕ = A cos4 ϕ dϕ . 0 0 R2π 4 3π Поскольку 0 cos ϕ dϕ = 4 , то для A получаем следующее значение: A = √23π . Таким образом, 2 Ψ(ϕ) = √ cos2 ϕ . 3π
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »