Элементы квантовой механики. Мартинсон Л.К - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Измерение физических величин в квантовомеханических системах 27
Оператор проекции момента импульса
ˆ
L
z
в сферических координатах
имеет вид
ˆ
L
z
=
~
i
∂
∂ϕ
,
а его нормированные собственные функции и собственные значения
определяются выражениями [1]
u
m
(ϕ) =
1
√
2π
e
imϕ
, L
z
= m~ ,
где m = 0, ±1, ±2, . . .. Разложим волновую функцию Ψ(ϕ) по собствен-
ным функциям оператора
ˆ
L
z
:
Ψ(ϕ) =
2
√
3π
cos
2
ϕ =
2
√
3π
·
1 + cos 2ϕ
2
=
1 + cos 2ϕ
√
3π
.
В соответствии с формулой Эйлера
e
iα
= cos α + i sin α,
представим cos 2ϕ следующим образом: cos 2ϕ =
1
2
(e
i2ϕ
+ e
−i2ϕ
). При
этом разложение волновой функции Ψ(ϕ) принимает следующий вид:
Ψ(ϕ) =
1
√
3π
1 +
1
2
e
i2ϕ
+
1
2
e
−i2ϕ
=
=
s
2
3
1
√
2π
e
i·0·ϕ
+
s
1
6
1
√
2π
e
i·2·ϕ
+
s
1
6
1
√
2π
e
−i·2·ϕ
=
=
s
2
3
u
0
(ϕ) +
s
1
6
u
+2
(ϕ) + +
s
1
6
u
−2
(ϕ) . (4.52)
Поскольку в разложении (4.52) присутствуют только собственные
функции оператора
ˆ
L
z
, отвечающие значением m = 0 и m = 2, то это
означает, что из всего спектра собственных значений оператора
ˆ
L
z
для
частицы, находящейся в данном состоянии, реализуются
L
z
= 0, L
z
= 2~, L
z
= −2~.
Именно эти значения и будут найдены в результате измерений. Веро-
ятность получить при измерении какое-либо одно из них определяет-
ся, согласно (??), квадратом модуля коэффициента разложения волновой
      Измерение физических величин в квантовомеханических системах    27


Оператор проекции момента импульса L̂z в сферических координатах
имеет вид
                                 ~ ∂
                           L̂z =      ,
                                 i ∂ϕ
а его нормированные собственные функции и собственные значения
определяются выражениями [1]
                              1
                    um (ϕ) = √ eimϕ ,      Lz = m~ ,
                              2π
где m = 0, ±1, ±2, . . .. Разложим волновую функцию Ψ(ϕ) по собствен-
ным функциям оператора L̂z :
                  2          2 1 + cos 2ϕ   1 + cos 2ϕ
          Ψ(ϕ) = √ cos2 ϕ = √ ·           =    √       .
                  3π         3π    2             3π
В соответствии с формулой Эйлера

                          eiα = cos α + i sin α,

представим cos 2ϕ следующим образом: cos 2ϕ = 12 (ei2ϕ + e−i2ϕ ). При
этом разложение волновой функции Ψ(ϕ) принимает следующий вид:


         1       1       1
                                 
 Ψ(ϕ) = √     1 + ei2ϕ + e−i2ϕ =
          3π     2       2
             s             s               s
               2 1 i·0·ϕ     1 1 i·2·ϕ         1 1 −i·2·ϕ
           =    √ e      +     √ e       +      √ e        =
               3 2π          6 2π              6 2π
                         s            s              s
                           2            1              1
                       =     u0 (ϕ) +     u+2 (ϕ) + +    u−2 (ϕ) . (4.52)
                           3            6              6
   Поскольку в разложении (4.52) присутствуют только собственные
функции оператора L̂z , отвечающие значением m = 0 и m = 2, то это
означает, что из всего спектра собственных значений оператора L̂z для
частицы, находящейся в данном состоянии, реализуются

                    Lz = 0,    Lz = 2~,    Lz = −2~.

Именно эти значения и будут найдены в результате измерений. Веро-
ятность получить при измерении какое-либо одно из них определяет-
ся, согласно (??), квадратом модуля коэффициента разложения волновой

Страницы