Элементы квантовой механики. Мартинсон Л.К - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Волновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля 5
частицы, движущейся со скоростью, сравнимой со скоростью света в
вакууме c, эта связь выражается формулой p
2
c
2
= E
K
(E
K
+2m
0
c
2
). Тогда
в соответствии с формулой (??) находим длину волны де Бройля.
Для нерелятивистской частицы
λ
Б
=
2π~
p
=
2π~
√
2m
0
E
K
(1.4)
Для релятивистской частицы
λ
(p)
Б
=
2π~
p
=
2π~
√
2m
0
E
K
s
1 +
E
K
2m
0
c
2
(1.5)
Относительная ошибка расчётов по этим формулам
ε =
λ
Б
− λ
(p)
Б
λ
Б
= 1 −
s
1 +
E
K
2m
0
c
2
(1.6)
Отсюда находим значение кинетической энергии частицы, для ко-
торого расчёт по нерелятивистской формуле приводит к относительной
ошибке ε,
E
K
(ε) = 2m
0
c
2
"
1
(1 − ε)
2
− 1
#
. (1.7)
Для малых ε 1 получаем E
K
(ε) ≈ 4εm
0
c
2
= 4εE
0
, где E
0
= m
0
c
2
—
энергия покоя частицы. В частности, для электрона E
0
= 0.511 МэВ, а
для протона E
0
= 938.2 МэВ. Поэтому вплоть до значений кинетической
энергии E
K
= 20.4 кэВ для электрона и E
K
= 37.5 МэВ для протона при
расчёте длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле относи-
тельная ошибка расчёта не превышает одного процента.
☞ Задача.1.2 Какую ускоряющую разность потенциалов U дол-
жен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля стала равной 10
−10
м?
☞ Решение.Электрон, прошедший ускоряющую разность потен-
циалов U , приобретает кинетическую энергию E
K
= eU. Используя
нерелятивистскую формулу для длины волны де Бройля
λ
Б
=
2π~
p
=
2π~
√
2m
0
E
K
=
2π~
√
2m
0
eU
, (1.8)
возможность применения которой можно обосновать расчётом, получим
U =
2π
2
~
2
m
0
eλ
2
Б
. (1.9)
               Волновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля            5


частицы, движущейся со скоростью, сравнимой со скоростью света в
вакууме c, эта связь выражается формулой p2 c2 = EK (EK +2m0 c2 ). Тогда
в соответствии с формулой (??) находим длину волны де Бройля.
   Для нерелятивистской частицы
                                  2π~     2π~
                           λБ =       =√                            (1.4)
                                   p     2m0 EK
   Для релятивистской частицы
                                             s
                          2π~     2π~                  EK
                                                                
                  (p)
                 λБ     =     =√                   1+               (1.5)
                           p     2m0 EK               2m0 c2
   Относительная ошибка расчётов по этим формулам
                              (p)
                                           s
                      λБ − λ Б                      EK
                                                            
                   ε=          =1−              1+                  (1.6)
                         λБ                        2m0 c2
   Отсюда находим значение кинетической энергии частицы, для ко-
торого расчёт по нерелятивистской формуле приводит к относительной
ошибке ε,                            "            #
                                   2      1
                    EK (ε) = 2m0 c              −1 .          (1.7)
                                       (1 − ε)2
   Для малых ε  1 получаем EK (ε) ≈ 4εm0 c2 = 4εE0 , где E0 = m0 c2 —
энергия покоя частицы. В частности, для электрона E0 = 0.511 МэВ, а
для протона E0 = 938.2 МэВ. Поэтому вплоть до значений кинетической
энергии EK = 20.4 кэВ для электрона и EK = 37.5 МэВ для протона при
расчёте длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле относи-
тельная ошибка расчёта не превышает одного процента.
   ☞ Задача.1.2 Какую ускоряющую разность потенциалов U дол-
жен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля стала равной 10−10 м?
   ☞ Решение.Электрон, прошедший ускоряющую разность потен-
циалов U , приобретает кинетическую энергию EK = eU . Используя
нерелятивистскую формулу для длины волны де Бройля
                          2π~     2π~       2π~
                   λБ =       =√        =√        ,                 (1.8)
                           p     2m0 EK    2m0 eU
возможность применения которой можно обосновать расчётом, получим

                                       2π 2 ~2
                                  U=           .                    (1.9)
                                       m0 eλ2Б

Страницы