Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 1 стр.

 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
                  ИМ. Н.Э. БАУМАНА

                  Л.К. Мартинсон, Е.В. Смирнов
                 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
          К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

    РАЗДЕЛ «УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
                   КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ»
                        Москва, 2002


    В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий и
    соотношений теории, необходимых для решения задач. Изложена методи-
    ка решения типовых задач.
    Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.

 1. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является общее,
или временное, уравнение Шредингера:
                           ∂Ψ      !2                               (1)
                        i!     =-      ∆Ψ + U Ψ
                            ∂t    2m 0
где i = −1 −мнимая единица; ! − рационализированная постоянная Планка
( ! = h 2π ) ; Ψ(x,y,z,t) − волновая функция, описывающая состояние частицы;
                                      ∂2   ∂2   ∂2
                                ∆= 2 + 2 + 2
                                     ∂x ∂y ∂z
оператор Лапласа; U(x,у,z,t) - потенциальная функция, определяющая с помо-
                      "
щью соотношения F = - grad U силу, действующую на частицу; т0 - масса
частицы.
      Уравнение (1) позволяет найти волновую функциюΨ(х,у,z,t) как функцию
координат и времени, т. е. найти плотность вероятности нахождения частицы в
любой точке пространства в любой момент времени и тем самым полностью
описать квантовое состояние частицы, движущейся в силовом поле.
      В квантовой механике существует класс задач о движении частицы в си-
ловых полях, для которых потенциальная функция U(х, у, z, t) не зависит явно
от времени, т. е. U(x,у,z,t)≡U(x,y,z). Такие силовые поля называются стационар-
ными, в этом случае потенциальная функция U(x, у, z) имеет смысл потенци-
альной энергии частицы. Задачи о движении частиц в таких полях называются
стационарными задачами квантовой механики, а соответствующие состояния -
стационарными состояниями. Именно анализу стационарных состояний кван-
товой механики и посвящено настоящее пособие.
      Можно показать, что волновая функция частицы, находящейся в стацио-
нарном квантовом состоянии, имеет вид