Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 2 стр.

                                               E
                                             -i t
            Ψ (x,y,z,t) = ψ (x,y,z) ⋅ e        !
                                                    = ψ (x,y,z) ⋅ e - iω t           (2)
где Е - полная энергия частицы. Из (2) следует, что волновая функция стацио-
нарного состояния гармонически зависит от времени с частотой ω = E ! . Коор-
динатную часть волновой функции Ψ(х, у, z) в стационарных задачах часто на-
зывают просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени оп-
ределяется соотношением (2).
      Подставляя волновую функцию (2) в уравнение (1) и учитывая связь ме-
жду ω и Е, получаем уравнение для волновой функции ψ(x, y,z):
                            !2
                         −      ∆ ψ + U ψ = Eψ                           (3)
                           2m0
Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состоя-
ний. Его решения - функции ψ(х,у,z) и соответствующие значения энергии Е -
определяются конкретным видом потенциальной энергии U(x,у, z). Уравнение
Шредингера для стационарных состояний (3) можно переписать в следующей
форме:
                                  2m0
                           ∆ψ +       ( E − U )ψ = 0                                 (4)
                                   !2
Отметим, что для стационарных состояний плотность вероятности местонахо-
ждения частицы w не зависит от времени. Действительно,
              dP                      2                 2                    2
        w =      = Ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z ) e − iω t                =
              dV
                          2                                   2
        = ψ ( x , y , z ) e − iω t e iω t = ψ ( x , y , z )
Можно показать, что в стационарных состояниях от времени также не зависят
вектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин.
     В этом пособии рассмотрены случаи движения квантово-механической
частицы в различных стационарных силовых полях: в потенциальных ямах, в
области потенциального порога и потенциального барьера. Для указанных си-
ловых полей проанализированы вид волновых функций и энергетический
спектр частицы.

   2. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С НЕПРОНИЦАЕМЫМИ
                                СТЕНКАМИ
      Рассмотрение стационарных задач квантовой механики начнем с наибо-
лее простой для анализа задачи о движении частицы и потенциальной яме с не-
проницаемыми, т. е. бесконечно высокими, стенками. Такие ямы называют еще
потенциальными ящиками, и наиболее часто это название применяют по отно-
шению к трехмерной потенциальной яме.
Одномерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в одно-
мерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В
этом случае потенциальная энергия частицы U(x) имеет вид (рис. 1)