Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

,x0 область I
U( x) 0, 0 x a область II
,xa область III
∞<−
∞<−∞<−
∞<−
=<<−
=<<−=<<−
=<<−
∞>−
∞>−∞>−
∞>−
Поскольку стенки ямы непроницаемы для частицы, плотность вероятности об-
наружения частицы
w,
а следовательно, и сама волновая функция
ψ
(х) в облас-
тях I и III должны быть равны нулю. В области II возможного движения части-
цы, в которой
U(x)
=
0,
волновую функцию
ψ
(х) находим из решения
2
2m E
d ψ
0
ψ
0, 0 x a
22
dx
!
+=<<
+=<<+=<<
+=<<
(5)
стационарного уравнения Шредингера:
Это уравнение следует решать с учетом граничных условий
ψ
(0)=0 и
ψ
(
a
)=0, которые являются следствием условия непрерывности волновой функ-
ции во всех точках пространства, включая непроницаемые для частицы стенки.
Для таких однородных граничных условий рассматриваемое уравнение имеет
нетривиальные решения только при определенных значениях полной энер гии
частицы. Действительно, общее решение уравнения (5) можно представить в
виде
(x) Asinkx Bcoskx,
ψ
ψψ
ψ
=+
=+=+
=+
где
2
0
k2mE
!
=
==
=
.
Из граничного условия
ψ
(0) =0 следует, что константа
В=
0,
т. е.
ψ
(х) =
A
sin
kx
. Другое граничное условие
ψ
(
a
) =0 приводит к соотношению
ka
=
n
π
,
n
=1,2,3, …
из которого находим возможные значения полной энергии частицы, движущей-
ся в яме:
U(x)
E
3
n=3
x
Рис. 1
U
0
→∞
a
0
ψ
(x)=0
III
II
I
E
2
n=2
E
1
n=1
ψ
(x)=0 
                             ∞ ,    x<0      −область I
                             
                   U ( x ) =  0 , 0 < x < a −область II
                             ∞ ,    x>a     −область III
                             

Поскольку стенки ямы непроницаемы для частицы, плотность вероятности об-
наружения частицы w, а следовательно, и сама волновая функция ψ(х) в облас-

                      U(x)                         U0 →∞

                                     II
                          I                         III

                                  E3 n=3

                 ψ(x)=0           E2 n=2           ψ (x)=0

                                  E1 n=1

                                                     x

                              0                a


                                      Рис. 1
тях I и III должны быть равны нулю. В области II возможного движения части-
цы, в которой U(x) = 0, волновую функцию ψ(х) находим из решения
                         d 2ψ 2m0 E                                      (5)
                               +        ψ = 0, 0 < x < a
                          dx 2     ! 2
стационарного уравнения Шредингера:
       Это уравнение следует решать с учетом граничных условий ψ(0)=0 и
ψ(a)=0, которые являются следствием условия непрерывности волновой функ-
ции во всех точках пространства, включая непроницаемые для частицы стенки.
Для таких однородных граничных условий рассматриваемое уравнение имеет
нетривиальные решения только при определенных значениях полной энергии
частицы. Действительно, общее решение уравнения (5) можно представить в
виде
                          ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx ,
где k = 2m0 E ! 2 . Из граничного условия ψ(0) =0 следует, что константа В=0,
т. е. ψ(х) =Asinkx. Другое граничное условие ψ(a) =0 приводит к соотношению
                                ka=nπ, n=1,2,3, …
из которого находим возможные значения полной энергии частицы, движущей-
ся в яме:

Страницы