Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

выводом, следующим из соотношений неопределенностей Гейзенберга.
Двумерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в двумер-
ной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В
этом случае потенциальная энергия частицы
U
(
x,y
)
имеет вид
0, (x,y)
U(x,y)=
,(x,y)
,
,
Ω
ΩΩ
Ω
Ω
ΩΩ
Ω
∈
∈∈
∈
∞∉
∞∉∞∉
∞∉
где
Ω
= {(x,y): 0<x<
a
1
, 0<y<
a
2
}
−
прямоугольная область на плоскости (х, y)
(рис. 3).
Квантовое состояние частицы в такой двумерной задаче определяется двумя
квантовыми числами n
1
и n
2
,
а соответствующая нормированная волновая
функция
ψ
n1,n2
(x,y) в области возможного движения
Ω
имеет вид
1 2
1 2
n,n 1 2
1 2 1 2
4nxny
(x,
y
)sinsin,n,n1,2,3,...
aa a a
ππ
ππππ
ππ
ψ
ψψ
ψ
==
====
==
(8)
На границе области
Ω
, т. е. на непроницаемых для частицы стенках ямы, вол-
новая функция
ψ
n1,n2
(x,y) обращается в нуль, непрерывным образом переходя в
тождественный нуль вне
Ω
.
Полная энергия частицы в квантовом состоянии с заданными значениями кван-
товых чисел n
1
и n
2
определяется выражением
1 2
22
22
1 2
n,n 1 2
02 2
nn
E,n,n1,2,3,...
2m a a
!
π
ππ
π









=+ =
=+ ==+ =
=+ =












(9)
Рассмотрим движение частицы в квадратной потенциальной яме, т. е. при
a
1
=
a
2
=
a
. В том случае энергетический спектр частицы имеет вид
(
((
()
))
)
1 2
22
22
n,n 1 2 1 2
2
0
Enn,n,n1,2,3,...
2m a
!
π
ππ
π
=+ =
=+ ==+ =
=+ =
(10)
Из (1 0) следует, что одному и тому же энергетическому уровню
E
n1,n2
,
опреде-
ляемому квантовыми числами
n
1
и
n
2
, при
n
1
≠
n
2
соответствуют два различных
состояния частицы, описываемых волновыми функциями
ψ
n1,n2
и
ψ
n2,n1
. Энерге-
тический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний час-
тицы, называется вырожденным уровнем, а число соответствующих ему со-
стояний - кратностью (или степенью) вырождения уровня. В случае двумерной
x
y
a
2
a
1
0
Рис. 3
Ω
выводом, следующим из соотношений неопределенностей Гейзенберга.
Двумерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в двумер-
ной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В
этом случае потенциальная энергия частицы U(x,y) имеет вид
                                     0, (x,y) ∈ Ω ,
                            U(x,y)= 
                                     ∞, (x,y) ∉ Ω ,
где Ω = {(x,y): 0

Страницы