Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 4 стр.

                            π 2!2 2
                       En =         n , n = 1,2,3, ...                         (6)
                            2m0 a 2
Полученное выражение определяет дискретный энергетический спектр частицы
в рассматриваемой задаче. Частица, находящаяся в одномерной потенциальной
яме с непроницаемыми стенками, может иметь только дискретные квантован-
ные значения энергии, определяемые выражением (6). Число n называется
квантовым числом, а соответствующее ему значение En - уровнем энергии. Со-
стояние частицы с наименьшей энергией, в данном случае с п=1, называется
основным состоянием. Все остальные состояния являются возбужденными:
значение n=2 отвечает первому возбужденному состоянию, значение n=3 - вто-
рому возбужденному состоянию и т. д.
      Состояние частицы в яме, отвечающее определенному квантовому числу
                                                  nπ x
п, описывается волновой функцией ψ n ( x ) = Asin      .
                                                     a
Константу А находим из условия нормировки волновой функции
                     a                   a
                                              2 π nx
                    ∫0 ψ n ( x ) dx = A ∫0 sin a dx = 1
                                2      2




Вычисляя интеграл, получаем A = 2 a . Таким образом, нормированные вол-
новые функции, описывающие состояние частицы в одномерной потенциаль-
ной яме с бесконечно высокими стенками, имеют вид
                               2     π nx
                     ψn( x ) =   sin      , n = 1,2 ,3, ...           (7)
                               a       a
Для заданного значения квантового числа соотношения (6) и (7) определяют
полную энергию частицы и волновую функцию, описывающую ее состояние.

    ψ1(x)   n=1             ψ2(x)       n=2                  ψ3(x)   n=3




     0            a            0                               0
                        x                        a       x
                                                                           a




                                        Рис. 2
Отметим, что волновая функция ψn(х) обращается в нуль на стенках ямы и в n-1
внутренней точке интервала (0, а). Поэтому с ростом n увеличивается число ос-
цилляции волновой функции (рис. 2). Следует подчеркнуть, что минимальное
значение энергии частицы в яме E1 отлично от нуля. Отсутствие квантового со-
стояния с нулевой полной энергией, что соответствовало бы покоящейся в яме
частице, является существенно квантовым эффектом. Это согласуется с общим