Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

дем считать, что
a
1
=
a
2
=
a
3
=
a
.В этом случае энергетический спектр частицы име-
ет вид
(
((
()
))
)
1 23
22
222
n,n,n 1 23 1 23
2
0
E n n n , n ,n ,n 1,2,3,...
2m a
!
π
ππ
π
=++ =
=++ ==++ =
=++ =
(13)
Энергетические уровни в кубической яме, для которых
n
1
=
n
2
=
n
3
являются не-
вырожденными, все остальные уровни вырождены. Вопрос о кратности вырож-
дения энергетических уровней в кубической яме рассмотрен в задаче 3.
3. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Гармоническим осциллятором называется система, способная совершать
гармонические колебания. Рассмотрим одномерный гармонический осцилля-
тор, совершающий колебания вдоль оси
х
под действием возвращающей квази-
упругой силы F
x
=-
k
x
.
Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид
(рис.5)
2
22
00
mxkx
U( x) ,
22
ω
ωω
ω
==
====
==
(14)
где
00
km
ω
ωω
ω
=
==
=
−
собственная частота классического гармонического осцилля-
тора. Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилля-
торе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной
яме.
Рассмотрим сначала поведение классического гармонического осцилля-
тора. Пусть макроскопическая система с энергией E
совершает колебания в си-
ловом поле (14) (см. рис. 5). Точки
а
0
и
-а
0
, в которых полная энергия частицы
равна потенциальной энергии
Е=U(x),
являются для частицы точками поворота.
Частица совершает колебательные движения между стенками потенциальной
ямы внутри отрезка
[
-а
0
,
а
0
]
,
выйти за пределы которого она не может. Ампли-
туда колебаний
а
0
определяется выражением
0
2
00
2E
a
m
ω
ωω
ω
=
==
=
.
В квантовой механике волновые функции и энергетический спектр гармониче-
ского осциллятора находятся из решения уравнения Шредингера:
Рис. 5
U(x)
0
-a
0
a
0
x
E 
дем считать, что a1=a2=a3=a.В этом случае энергетический спектр частицы име-
ет вид
                                π 2 !2
                En1 ,n2 ,n3 =
                                2m0 a  2 ( 2    2    2
                                                       )
                                         n1 + n2 + n3 , n1 ,n2 ,n3 = 1,2,3, ...   (13)

Энергетические уровни в кубической яме, для которых n1=n2=n3 являются не-
вырожденными, все остальные уровни вырождены. Вопрос о кратности вырож-
дения энергетических уровней в кубической яме рассмотрен в задаче 3.

          3. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

      Гармоническим осциллятором называется система, способная совершать
гармонические колебания. Рассмотрим одномерный гармонический осцилля-
тор, совершающий колебания вдоль оси х под действием возвращающей квази-
упругой силы Fx=-kx. Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид
(рис.5)
                                                           2
                                             kx 2 m0ω 0 x 2                       (14)
                                    U( x ) =     =          ,
                                              2      2
где ω 0 = k m0 −собственная частота классического гармонического осцилля-
тора. Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилля-
торе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной
яме.
       Рассмотрим сначала поведение классического гармонического осцилля-
тора. Пусть макроскопическая система с энергией E совершает колебания в си-
ловом поле (14) (см. рис. 5). Точки а0 и -а0, в которых полная энергия частицы
равна потенциальной энергии Е=U(x), являются для частицы точками поворота.
Частица совершает колебательные движения между стенками потенциальной
ямы внутри отрезка [-а0, а0], выйти за пределы которого она не может. Ампли-
                                                       2E
туда колебаний а0 определяется выражением a0 =              2 .
                                                      m0ω 0

                                                       U(x)




                            E
                                                                       x

                                   -a0             0             a0

                                                  Рис. 5
В квантовой механике волновые функции и энергетический спектр гармониче-
ского осциллятора находятся из решения уравнения Шредингера:

Страницы