Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 8 стр.

                      d 2ψ 2m0                 2
                                           m0ω 0 x 2                                                      (15)
                           + 2       E −                   ψ = 0 , −∞ < x < +∞ ,
                      dx 2   !               2               
Это уравнение имеет регулярные решения, обращающиеся в нуль на бесконеч-
ности, только при значениях полной энергии, равны
                                               1                                                         (16)
                                E m = !ω 0  n +  , n = 0 ,1, 2 ,3, ...
                                               2
Энергетический спектр гармонического осциллятора является дискретным и
состоит из эквидистантных, т. е. отстоящих друг от друга на одинаковом энер-
гетическом расстоянии (равном !ω 0 ), уровней. Наименьшее значение полной
                          1
энергии, равное E0 = !ω 0 называется нулевой энергией осциллятора. Оно со-
                          2
ответствует значению квантового числа n=0 и, в соответствии с принципом не-
определенностей, отлично от нуля.
      Волновые функции, описывающие квантовые состояния осциллятора, в
общем случае выражаются через специальные функции матической физики
Hn(ξ), которые называются полиномами Чебышева-Эрмита. Эти волновые
функции имеют вид
                                        2
                            ψ ( ξ ) = eξ 2 H ( ξ ),                    (17)
                                         n                        n

          x            !
Где ξ =      , x0 =         , а полином Чебышева - Эрмита n-го порядка Hn(ξ) оп-
          x0          m0ω 0
ределяется выражением
                                                                                      2
                                                ( −1 )n               ξ2   d n e −ξ
                                 Hn(ξ ) =                         e                                        (18)
                                 2 n! π             n                       dξ n
Нормированные волновые функции для первых трех энергетических уровней
гармонического осциллятора имеют вид
                                                            1           x2                
                              n = 0, ψ0( x ) =                    exp  −    2            ,
                                                        x0      π       2 x0              
                                                        1      2x       x2                   
                         n = 1, ψ 1 ( x ) =                       exp  −    2               ,          (19)
                                                 2 x0        π x0       2 x0                 
                                               1           4 x2            x2                    
                      n = 2, ψ 2( x ) =                    2   − 2  exp  −   2                 .
                                             8 x0           x
                                                        π  0               2 x0                  
Графики этих волновых функций представлены на рис. 6. Отрезок [-а0, а0] оп-
ределяет область, в которой совершал бы колебания классический осциллятор.
Ширина этой области оказывается различной для разных значений квантового
числа п, поскольку энергия осциллятора, а следовательно, и амплитуда его ко-
лебании также зависят от п.