Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 10 стр.

порогом. Обозначим область слева от порога (x<0) цифрой I и все решения для
этой области будем отмечать индексом 1. Область справа от порога (x>0) обо-
значим цифрой II, будем отмечать соответствующие ей решения цифрой 2.
      Решение уравнения Шредингера (3) с учетом непрерывности волновых
функций и их производных на границе порога имеет вид
                                               k − ik 2 − ik1 x                 (20a)
                       ψ 1 ( x ) = e ik1 x + 1             e        , x < 0,
                                               k 1 + ik 2
                                              2k1                               (20б)
                            ψ2( x ) =                 e − k2 x , x > 0
                                           k1 + ik 2
где
                              2m0                             2m0
                      k1 =        2
                                     E и k2 =                        ( U0 − E )  (21)
                                !                              !2
Отметим, что уравнение Шредингера в данном случае имеет решение при лю-
бых значениях коэффициентов k1 и k2,т.е. при любых значениях энергии Е. Это
означает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром.
      Волновые функции ψ1 и ψ2 (20a, б), описывающие состояние частицы в
областях I и II, в случае высокого потенциального порога имеют существенно
различный вид. Первое слагаемое в волновой функции ψ1 представляет собой
плоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х из -∞ к области
порога, т. е. слева направо. Аналогично, второе слагаемое в ψ1 описывает пло-
скую дебройлевскую волну, распространяющуюся вдоль оси х в отрицательном
направлении. В отличие от ψ1(x) волновая функция ψ2(x), характеризующая
движение частицы в области II, представляет собой затухающую в глубь порога
экспоненту.
      Введем коэффициент отражения R, характеризующий вероятность отра-
жения частицы от потенциального порога, и коэффициент прохождения D, оп-
ределяющий вероятность того, что частица преодолеет потенциальный порог и
удалится от него на бесконечно большое расстояние. Поскольку для потока
частиц, падающих на барьер, коэффициент отражения R определяет относи-
тельную долю отраженных частиц, а коэффициент прохождения D - относи-
тельную долю частиц, преодолевших потенциальный порог, R и D можно опре-
делить через отношение соответствующих потоков вероятности:
                                          ####"               #####"
                                          jотр                jпрош
                                  R = ###" , D = ###"                            (22)
                                           jпад                jпад
    ###" ###" #####"
где jотр , jпад , jпрош - векторы плотности потока вероятности соответственно
для падающей (первое слагаемое в (20а)), отраженной (второе слагаемое в
(20а)) и проходящей (20б) волн. Напомним, что вектор плотности потока веро-
         "
ятности j определяется через волновую функцию Ψ следующим образом:
                      "    i!
                      j=       ψ ⋅ gradψ * − ψ * ⋅ gradψ  .
                          2m 0