Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 11 стр.

С учетом вида волновых функций (20а, б) получаем
                  ###" !k        ###" !k k − ik 2 !k                     #####"
                  jпад =    1
                              , jотр =        1    1       2
                                                               =     1
                                                                       , jпрош = 0.
                          m0              m0 k1 + ik2              m0
      Таким образом, в случае высокого порога коэффициент отражения R=1,
коэффициент прохождения D = 0, и тем самым выполняется условие R+D=1.
      Рассмотрим теперь случай низкого потенциального порога, когда энергия
налетающей частицы Е превышает высоту порога U0, т. е. Е>U0. Решая уравне-
ние Шредингера, находим волновые функции для областей I и II:
                                                     k −k                             (23a)
                               Ψ 1 ( x ) = e ik1 x + 1 2 e − ik1 x ,
                                                     k1 + k 2
                                                    2k1 ik2 x                         (23б)
                                    Ψ 2( x ) =               e ;
                                                  k1 + k 2
здесь k1 и k2 определены соотношениями
                               2m0                           2m0
                       k1 =       2
                                      E и k2 =                     ( E − U 0 ).
                                !                             !2
Представленные волновые функции описывают падающую на порог волну де
Бройля (первое слагаемое в (23а)), отраженную волну (второе слагаемое в (23а))
и волну, проходящую через порог (23б). Векторы плотности потока вероятно-
сти для этих трех волн имеют следующий вид:
                 ###" !k       ###" !k k − k                  #####" !k       2k1
                 jпад = 1 , jотр = 1 1                2
                                                         , jпрош = 2                .
                         m0             m0 k1 + k2                      m0 k1 + k 2
Коэффициент отражения частицы от порога R и коэффициент прохождения
частицы через порог D с учетом соотношений (22), (23) есть
                                        2                      2
                             k − k2           1 − 1 − U0 E 
                           R= 1             =               ,
                             k1 + k 2         1+ 1−U E 
                                                       0   
                                   4k1 k2              1 − U0 E
                           D=                  =4
                                ( k1 + k 2 ) 2
                                                  ( 1 + 1 − U 0 E )2
       Таким образом, и в случае низкого порога выполняется соотношение
R+D=1, что естественно ожидать с точки зрения сложения вероятностей: па-
дающая на порог частица либо отразится от него, либо пройдет в область II.
       Отметим, что классическая частица не может отразиться от низкого поро-
га, в области II меняется лишь ее кинетическая энергия. Квантовая частица, как
показывает проведенный анализ, с вероятностью, определяемой коэффициен-
том отражения R, может отразиться не только от высокого, но и от низкого по-
рога. Физическая причина такого явления заключается в наличии у частицы
волновых свойств, благодаря которым частица, как и обычная волна, испыты-
вает отражение от любой неоднородности силового поля.
       Прохождение частицы через потенциальный барьер. Потенциальным
барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия
частицы U больше, чем в окружающих областях. Рассмотрим простейший слу-