Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 13 стр.

           2m0 E        2m0 (U 0 − E )
где k1 =      2  и k2 =                .
            !                !2
      Основное внимание в данной задаче сосредоточим на анализе прохожде-
ния частицы через барьер. Условие непрерывности (условие сшивки) волновых
функций и их производных на границах барьера, т. е. при x=0 и х=а, позволяет
найти коэффициенты B1, A2, B2, A3. В частности, для амплитуды A3 получаем
выражение
                                        4ik1 k 2 e ik1a
                       A3 =                                             .
                            (k1 + ik 2 )2 e k2 a - (k1 - ik 2 )2 e k2 a
Векторы плотности потока вероятности для падающей на барьер и прошедшей
через него волн с учетом (24) имеют вид
                              "      !k      "       !k   2
                              j пад = 1 ,    j прош = 1 A3 .
                                     m0              m0
              "       "
Подставляя j пад и j прош в выражение для D (22), находим коэффициент прохо-
ждения частицы через барьер:
                      "                                             −1
                      j прош           2
                                             k 12 + k 22 
                                                                2
                                                                             
                   D= "       = A3   = 1 +                     sh 2
                                                                       k 2 a  ,
                        j пад                2  k    k
                                                      1 2                   
                                                                             
 где гиперболический синус sh k 2 a = (e k2 a − e − k2 a ) . В случае, когда ширина барь-
                                      1
                                      2
ера а удовлетворяет условию k 2 a >> 1, e − k2 a << 1 и гиперболический синус
                                          1
можно заменить экспонентой sh k 2 a ≈ e k 2 a . С учетом выражений для k1 и k2
                                          2
коэффициент прохождения частицы через порог D принимает вид
                                    2a                           (25)
                        D ≈ D0 exp  −  2m0 ( U 0 − E )  .
                                    !                  
                          E      E 
Здесь коэффициент D0 = 16  1 −  является медленно изменяющейся функ-
                         U0     U0 
                    E
цией отношения         , численное значение которой по порядку величины срав-
                    U0
нимо с единицей. Основной вклад в зависимость D от параметров задачи дает
экспонента, поэтому в большинстве случаев при оценке коэффициента прохож-
дения частицы через потенциальный барьер полагают D0 ≈1. При этом выраже-
ние для D принимает вид
                                       2a                                         (26)
                              D ≈ exp  −  2m0 ( U 0 − E )  .
                                       !                  
Обобщение полученного результата на случай барьера произвольной формы
приводит к следующему выражению для коэффициента прохождения
                             2a x2                    
                    D ≈ exp  −   ∫  2m 0 ( U 0 − E )dx  ,       (27)
                              ! x1                     