Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 15 стр.

ной яме с абсолютно непроницаемыми стенками во втором возбужденном со-
стоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы в области
        a         a
0≤ x≤     ,0 < y ≤ , где а - сторона ямы,а также разность энергий второго и пер-
        3         3
вого возбужденных состояний.
Решение. Волновая функция частицы, находящейся в двумерной квадратной
потенциальной яме, имеет вид
                                             2      πn x        πn y
                        ψ n1 ,n2 ( x , y ) = sin 1 sin 2 ,
                                             a        a             a
а ее энергетический спектр описывается выражением (10)
                                            π 2 !2
                                                   2 ( 1
                                 En1 ,n2 =            n 2 + n22 ) ,
                                            2m0 a
где квантовые числа n1, n2=1, 2, 3, …. Первому возбужденному состоянию час-
тицы отвечают квантовые числа n1=1, n2=2 (или, наоборот, n1=2, n2=1). Следо-
вательно, соответствующий ему энергетический уровень оказывается двукрат-
но вырожденным. Второму возбужденному состоянию отвечают квантовые
числа n1=n2=2 соответствующий ему энергетический уровень невырожден.
                                                                         a         a
Вероятность обнаружить частицу в области 0 ≤ x ≤                           ,0 < y ≤ , определяется
                                                                         3         3
выражением
                                                                                             2
         a 3a 3
                              2           4
                                              a 3a 3
                                                             2π x       2π x         1    3
    P=   ∫∫       ψ 2 ,2 ( x , y ) dxdy = 2
                                         a    ∫∫       sin 2
                                                              a
                                                                  sin 2
                                                                         a
                                                                             dxdy =  −
                                                                                       3 8π
                                                                                             ≈ 0 ,07.
         0   0                                0   0                                         
Разность энергий второго и первого возбужденных состояний частицы
                         π 2!2  2                                π 2!2             3π 2 ! 2
                  ∆E =
                         2m0 a 2 
                                   ( 2 + 2 2
                                             ) − ( 2 2
                                                       + 1 2
                                                             ) =
                                                               2m a 2  ( 8 − 5 ) =
                                                                                    2m 0 a 2
                                                                                             .
                                                                     0



Задача 3. Частица массой m0 находится в трехмерной кубической потенциаль-
ной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона куба равна а. Найди-
те: а) разность энергий 6-го и 5-го уровней; б) энергию 6-го уровня; в) крат-
ность вырождения 6-го уровня.
Решение. Состояние частицы, находящейся в трехмерной кубической потенци-
альной яме с абсолютно непроницаемыми стенками, описывается волновой
функцией
                                                 8       πn x       πn y      πn z
                 ψ n1 ,n2 ,n3 ( x , y, z ) = 3 sin 1 sin 2 sin 3 ,
                                                a          a          a        a
 а энергия частицы, согласно (13), может принимать значения
                                                π 2 !2
                                                       2 ( 1
                                 E n1 ,n2 ,n3 =           n 2 + n22 + n32 ) ,
                                                2m0 a
где квантовые числа n1, n2, n3=1, 2, 3, …. Основному состоянию частицы, т. е.
состоянию с наименьшей энергией, отвечают квантовые числа n1=n2=n3=1.
Энергетические уровни возбужденных состояний определяются приведенным