Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 17 стр.

                                    1
(16), (19), его энергия E0 = !ω 0 , а волновая функция, описывающая его со-
                                    2
                                            1          x2                          k
стояние, имеет вид ψ 0 ( x ) =                    exp  − 2             , где ω 0 =    - частота классиче-
                                        x0      π      2 x0                        m0

                                                                        !
ского гармонического осциллятора, a x0 =                                     .
                                                                       m0ω 0
При максимальном отклонении классического осциллятора от положения рав-
новесия его полная энергия должна быть равна потенциальной энергии, т. е.
                                ka02 !ω 0
                                                       =               .
                                                   2           2
Отсюда следует, что амплитуда классических колебаний
                                                   !ω 0    !
                                         a0 =           =       .
                                                    k     m0ω 0
Найдем вероятность обнаружения частицы в классической области:
                         a0                                    a0              x2               1
                                                                           −
                                                       1                                    1
                          ∫                                        ∫                            ∫ e dy ,
                                        2                                      x02                 −y2
                 Pкл =          ψ 0 ( x ) dx =                         e             dx =
                         − a0                      x0 π    − a0                             π   −1

          x
где y =      . Поскольку под интегралом стоит четная функция переменной у,
          x0
                                                           1
                                                   2
                                                           ∫ e dy
                                                                           2
                                                              −y
                                             Pкл =
                                                   π       0
Интеграл
                                                               t
                                        2
                                        π ∫0
                                               − y2
                               I( t ) =      e      dy

называется интегралом вероятностей. Этот интеграл широко используется в
теории вероятностей, статистике, теоретической и математической физике, его
значения для различных пределов интегрирования t приведены в таблицах. В
данном случае, при t=1 I(1)=0,8427, следовательно, РКЛ = 0,8427 ≈ 0,84.
Соответственно, вероятность Р того, что частица будет обнаружена вне класси-
ческой области, Р = 1- РКЛ≈0,16.
      Таким образом, вероятность пребывания гармонического осциллятора,
находящегося в основном состоянии, вне пределов классической области со-
ставляет примерно 16 %, т. е. имеет заметную величину.

Задача 5. Частица массой m0 движется в трехмерном потенциальном поле
                                                       k 2
                                    U( x, y,z ) =        ( x + y 2 + z 2 ),
                                                       2
где k - постоянная (трехмерный гармонический осциллятор). Найдите собст-
венные значения энергии частицы и кратность вырождения n-го энергетическо-
го уровня.
Решение. Поскольку движение частицы вдоль осей х, у и z происходит незави-