Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

симо, будем искать волновую функцию в виде произведения
1 23
(x,
y
,z) ( x ) (
y
)(z),
ψψψψ
ψψψψψψψψ
ψψψψ
=⋅⋅
=⋅⋅=⋅⋅
=⋅⋅
где
Ψ
1
зависит только от координаты
х,
Ψ
2
только от
у
и
Ψ
3
-только от
z.
Под-
ставляя
Ψ
(x, y, z)
в уравнение Шредингера (4), получаем
[
[[
[]
]]
]
2
22
3
1 2
23 1 3 1 2
222
0
1 23
2
(z)(x) (y)
(y) (z) (x) (z) (x) (z)
dx dy dz
2m
EU(x,y,z) (x) (y) (z)0.
ψ
ψψ
ψψψ
ψψψψ
ψψ
ψψ ψψ ψψ
ψψ ψψ ψψψψ ψψ ψψ
ψψ ψψ ψψ
ψψψ
ψψψψψψ
ψψψ
∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂
⋅+⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅+
+− ⋅⋅=
+− ⋅⋅=+− ⋅⋅=
+− ⋅⋅=
!
Разделив это уравнение на
ψ
(x, y, z)
и использовав данный в условии задачи вид
зависимости
U(x,y,z),
придем к соотношению
.
2
2
2)(
)(
1
2
2
)(
)(
1
2
2
)(
)(
1
2
0
2
2
0
2
3
2
3
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
2
1
2
1
E
m
kz
m
dz
zd
z
ky
m
dy
yd
y
kx
m
dx
xd
x
!!
!!
−=
−+
+
−+
−
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
Первое выражение в квадратных скобках в левой части этого равенства являет-
ся функцией только координаты
х,
второе выражение в квадратных скобках яв-
ляется функцией только координаты
у,
третье - функцией только координаты
z.
Поскольку их сумма равна постоянной величине, каждое из этих слагаемых
также должно равняться постоянной величине:
22
001
1
22 2
1
22
002
2
22 2
2
22
30 0
3
22 2
3
2m 2m1 d(x) kx
E,
(x) dx 2
2m 2m
1 d(y) ky
E,
(y) dy 2
d(z)2m 2m1 kz
E,
(z) dz 2
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
−=−
−=−−=−
−=−
−=−
−=−−=−
−=−
−=−
−=−−=−
−=−
!!
!!
!!
где константы
E
1
,
E
2
,
E
3
имеют размерность энергии и удовлетворяют условию
E
1
+
E
2
+
E
3
=
E.
Таким образом, получаем три уравнения для одномерного гармо-
нического осциллятора, решения которых нам уже известны (см. (16), (17)).
Волновая функция трехмерного гармонического осциллятора представля-
ет собой произведение трех волновых функций для одномерного гармоническо-
го осциллятора (17) и зависит от трех квантовых чисел
n
1
,
n
2
и
n
3
:
1 23 1 23
n,n,n n n n 1 23
(x,
y
,z ) ( x ) (
y
)(z), n,n,n0,1,2,3,...
ψψψψ
ψψψψψψψψ
ψψψψ
=⋅⋅ =
=⋅⋅ ==⋅⋅ =
=⋅⋅ =
Для энер гии трехмерного гармонического осциллятора получаем выра-
жение
n0
3
En,
2
ω
ωω
ω



=+
=+=+
=+






!
где
n
=
n
1
+n
2
+n
3
,
n
=0, 1, 2, 3, ….
Найдем кратность вырождения
n
-го энергетического уровня трехмерного гар -
симо, будем искать волновую функцию в виде произведения
                                 ψ ( x , y , z ) = ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z ),
где Ψ1 зависит только от координаты х, Ψ2 только от у и Ψ3 -только от z. Под-
ставляя Ψ(x, y, z) в уравнение Шредингера (4), получаем
                         ∂ 2ψ 1 ( x )                        ∂ 2ψ 2 ( y )                        ∂ 2ψ 3 ( z )
    ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z )              + ψ 1 ( x ) ⋅ψ 3 ( z )              + ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( z )              +
                            dx 2                                dy 2                                dz 2
      2m
    + 2 0 [ E − U ( x , y , z )]ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z ) = 0.
        !
Разделив это уравнение на ψ(x, y, z) и использовав данный в условии задачи вид
зависимости U(x,y,z), придем к соотношению

                  1 d 2ψ 1 ( x ) 2m0 kx 2   1 d 2ψ 2 ( y ) 2m0 ky 2 
                 ψ ( x ) dx 2 − ! 2 2  + ψ ( y ) dy 2 − ! 2 2  +
                  1                         2                       
                   1 d 2ψ 3 ( z ) 2m0 kz 2     2m
                 +               − 2        = − 2 0 E.
                  ψ 3 ( z ) dz
                                2
                                    !   2        !
Первое выражение в квадратных скобках в левой части этого равенства являет-
ся функцией только координаты х, второе выражение в квадратных скобках яв-
ляется функцией только координаты у, третье - функцией только координаты z.
Поскольку их сумма равна постоянной величине, каждое из этих слагаемых
также должно равняться постоянной величине:
                                   1 d 2ψ 1 ( x ) 2m0 kx 2    2m
                                                 − 2       = − 2 0 E1 ,
                               ψ 1 ( x ) dx 2
                                                   !   2       !
                                   1 d 2ψ 2 ( y ) 2m0 ky 2    2m
                                                 − 2       = − 2 0 E2 ,
                               ψ 2 ( y ) dy 2
                                                   !   2       !
                                  1 d 2ψ 3 ( z ) 2m0 kz 2    2m
                                                − 2       = − 2 0 E3 ,
                               ψ 3 ( z ) dz 2
                                                  !   2       !

где константы E1, E2, E3 имеют размерность энергии и удовлетворяют условию
E1+E2+E3=E. Таким образом, получаем три уравнения для одномерного гармо-
нического осциллятора, решения которых нам уже известны (см. (16), (17)).
      Волновая функция трехмерного гармонического осциллятора представля-
ет собой произведение трех волновых функций для одномерного гармоническо-
го осциллятора (17) и зависит от трех квантовых чисел n1, n2 и n3:
    ψ n1 ,n2 ,n3 ( x , y , z ) = ψ n1 ( x ) ⋅ψ n2 ( y ) ⋅ψ n3 ( z ),      n1 ,n2 ,n3 = 0 ,1, 2 ,3, ...
     Для энергии трехмерного гармонического осциллятора получаем выра-
жение
                                                            3
                                             E n = !ω 0  n +  ,
                                                            2
где n=n1+n2+n3, n=0, 1, 2, 3, ….
Найдем кратность вырождения n-го энергетического уровня трехмерного гар-

Страницы