Составители:
монического осциллятора. Для заданного значения
n
кратность вырождения
уровня равна числу возможных перестановок трех чисел
n
1
,
n
2
и
n
3
, сумма
кото-
рых равна
п.
Найдем сначала число перестановок при фиксированном значении
n
1
.
Оно, как легко заметить, равно числу возможных значений
n
2
(или, что то же
самое,
n
3
). Число
n
2
при заданном
n
1
может меняться в пределах от 0 до
n
-
n
1
т.е. принимает значение
n
-
n
1
+1. Следовательно, число перестановок при фик-
сированном
n
1
равно
n
-
n
1
+1. Суммируя это выражение по
n
1
, находим крат-
ность вырождения
n
1
-го уровня
K
n
:
1
n
n 1
n0
(n 1)( n 2 )
K(nn1).
2
=
==
=
++
++++
++
=−+=
=−+==−+=
=−+=
∑
∑∑
∑
Основное состояние трехмерного гармонического осциллятора (
п=
0) оказыва-
ется невырожденным,
K
0
=1. Первое возбужденное состояние (
п=
1) имеет крат-
ность вырождения
K
1
= 3, ему соответствуют тройки квантовых чисел (100),
(010), (001).
Задача 6. Частица массой
m
0
падает слева на прямоугольный потенциальный
порог высотой
U
0
.
Энергия частицы равна
Е,
причем
E
<
U
0
.
Найдите эффектив-
ную глубину
x
ЭФ
проникновения частицы в область порога. Вычислите
x
ЭФ
для
электрона, если
U
0
-Е=
1 эВ
.
Решение. Поскольку, согласно условию задачи, энергия частицы
Е
меньше вы-
соты порога
U
0
,
мы имеем дело с высоким потенциальным порогом (см. рис. 7).
В этом случае, как уже отмечалось выше, хотя коэффициент отражения части-
цы от порога равен единице, тем не менее существует вероятность обнаружить
частицу в области за порогом, т. е. при
х>
0. Плотность вероятности нахождения
частицы в области за порогом имеет вид
00 00
2
22
2
2m (U E )x 2m (U E )x
1
1
hh
2
22
1 2 1 2
4k
dP 2k
w(x) e e ,
dx k ik k k
−− −−
−− −−−− −−
−− −−
== =
== === =
== =
+−
+−+−
+−
где
k
1
и
k
2
определяются выражениями (21). Эффективная глубина проникнове-
ния частицы
x
ЭФ
в область потенциального порога определяется как расстояние
от границы порога, на котором плотность вероятности обнаружения частицы
уменьшается в
е =
2,718 раз. Из этого определения следует, что
2 эф
1
00
2
w(x )
2
ex
p
2m (U E )x e .
w(0)
−
−−
−
=− − =
=− − ==− − =
=− − =
!
ЭФ
Таким образом,
00
2
2m (U E )x 1.
−=
−=−=
−=
!
ЭФ
Отсюда находим, что
00
x.
22m(U E)
=
==
=
−
−−
−
!
ЭФ
В случае электрона, налетающего на потенциальный порог, для которого
U
0
-
U=
1 эВ, получаем
монического осциллятора. Для заданного значения n кратность вырождения
уровня равна числу возможных перестановок трех чисел n1, n2 и n3, сумма кото-
рых равна п. Найдем сначала число перестановок при фиксированном значении
n1. Оно, как легко заметить, равно числу возможных значений n2 (или, что то же
самое, n3). Число n2 при заданном n1 может меняться в пределах от 0 до n - n1
т.е. принимает значение n - n1+1. Следовательно, число перестановок при фик-
сированном n1 равно n - n1+1. Суммируя это выражение по n1, находим крат-
ность вырождения n1-го уровня Kn:
n
( n + 1)( n + 2 )
Kn = ∑ ( n − n1 + 1) = .
n1 =0 2
Основное состояние трехмерного гармонического осциллятора (п=0) оказыва-
ется невырожденным, K0=1. Первое возбужденное состояние (п=1) имеет крат-
ность вырождения K1= 3, ему соответствуют тройки квантовых чисел (100),
(010), (001).
Задача 6. Частица массой m0 падает слева на прямоугольный потенциальный
порог высотой U0. Энергия частицы равна Е, причем E0. Плотность вероятности нахождения
частицы в области за порогом имеет вид
2 2 2
dP 2k1 − 2m0 ( U0 − E )x 4k12 − 2m0 ( U0 − E )x
w2 ( x ) = = e h = 2 e h
,
dx k1 + ik2 k1 − k22
где k1 и k2 определяются выражениями (21). Эффективная глубина проникнове-
ния частицы xЭФ в область потенциального порога определяется как расстояние
от границы порога, на котором плотность вероятности обнаружения частицы
уменьшается в е = 2,718 раз. Из этого определения следует, что
w 2 ( x эф ) 2
= exp − 2m0 ( U 0 − E )xЭФ = e −1 .
w2 ( 0 ) !
Таким образом,
2
2m0 ( U 0 − E )xЭФ = 1.
!
Отсюда находим, что
!
xЭФ = .
2 2m0 ( U 0 − E )
В случае электрона, налетающего на потенциальный порог, для которого U0-
U=1 эВ, получаем
