Составители:
[
[[
[]
]]
]
22
11
xx
0
xx
x
IU(x)EdxU1 Edx,
a
=−=−−
=−=−−=−=−−
=−=−−
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
где
х
1
=0, а
2
0
E
xa1
U
=−
=−=−
=−
. Производя замену переменной
0
x
zU(1 )E,
a
=−−
=−−=−−
=−−
по-
лучаем
(
((
()
))
)
0
UE
32
0
00
0
a2a
IzdzUE.
U3U
−
−−
−
==−
==−==−
==−
∫
∫∫
∫
Таким образом, коэффициент прохождения частицы через барьер
D
имеет вид
(
((
()
))
)
32
0
0
0
ma
42
Dex
p
UE .
3U
≈− −
≈− −≈− −
≈− −
!
Отметим, что прохождение частиц через потенциальный барьер, близкий по
форме к треугольному барьеру рассматриваемого вида, имеет место на практи-
ке, в частности, при холодной эмиссии электронов с поверхности металлов.
Задача 8. Частица массой
m
0
падает на прямоугольный потенциальный барьер
высотой
U
0
и шириной
а.
Энергия частицы
E
>
U
0
.
Найдите: а) коэффициент про-
зрачности барьера
D
; б) значения энергии частицы, при которых она будет бес-
препятственно проходить через такой барьер.
Решение. Обозначим цифрой I область
х<0
, цифрой II область 0<
х
<
а
и цифрой
III область
х>а.
Решения уравнения Шредингера в этих трех областях имеют
вид
11
22
1
ik x ik x
11
ik x ik x
22 2
ik x
33
eBe об ласть I
Ae Be об ласть II
Ae область III
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψψ
ψ
−
−−
−
−
−−
−
=+ −
=+ −=+ −
=+ −
=+ −
=+ −=+ −
=+ −
=−
=−=−
=−
где
000
1 2
22
2m E 2m ( e U )
k,k
−
−−
−
==
====
==
!!
.
Условие непрерывности волновых функций и их производных на границах
барьера (при
х =
0 и
х
=
a
) приводит к следующей системе уравнений:
221
221
1 22
111 22 22
ik a ik a ik a
22 3
ik a ik a ik a
22 22 1 3
1 BAB,
ik ik B ik A ik B ,
Ae Be Ae ,
ik A e ik B e ik A e .
−
−−
−
−
−−
−
+=+
+=++=+
+=+
−=−
−=−−=−
−=−
+=
+=+=
+=
−=
−=−=
−=
Решая эту систему, находим амплитуду прошедшей волны
1
22
ik a
1 2
3
ik a ik a
22
1 2 1 2
4k k e
A.
(k k ) e (k k ) e
−
−−
−
−
−−
−
=
==
=
+−−
+−−+−−
+−−
Коэффициент прохождения частицы над потенциальным порогом
D
выражает-
ся через векторы плотности потока вероятности для падающей и прошедшей
волн:
x2 x2
x
I= ∫ [U ( x ) − E ]dx = ∫
x1 x1
U 0 1 − − Edx ,
a
E x
где х1=0, а x2 = a 1 − . Производя замену переменной z = U 0 ( 1 − ) − E , по-
U0 a
лучаем
U −E
a 0 2 a
( )
U 0 ∫0
3 2
I= zdz = U 0 − E .
3 U0
Таким образом, коэффициент прохождения частицы через барьер D имеет вид
4 2 m0 a 3 2
D ≈ exp − (U 0 − E ) .
3 !U 0
Отметим, что прохождение частиц через потенциальный барьер, близкий по
форме к треугольному барьеру рассматриваемого вида, имеет место на практи-
ке, в частности, при холодной эмиссии электронов с поверхности металлов.
Задача 8. Частица массой m0 падает на прямоугольный потенциальный барьер
высотой U0 и шириной а. Энергия частицы E>U0. Найдите: а) коэффициент про-
зрачности барьера D; б) значения энергии частицы, при которых она будет бес-
препятственно проходить через такой барьер.
Решение. Обозначим цифрой I область х<0, цифрой II область 0<х<а и цифрой
III область х>а. Решения уравнения Шредингера в этих трех областях имеют
вид
ψ 1 = e ik1 x + B1e − ik1 x −область I
ψ 2 = A2 eik2 x + B2e − ik2 x −область II
ψ 3 = A3e ik1 x −область III
2m0 E 2m0 ( e − U 0 )
где k1 = 2
,k 2 = .
! !2
Условие непрерывности волновых функций и их производных на границах
барьера (при х = 0 и х = a) приводит к следующей системе уравнений:
1 + B1 = A2 + B2 ,
ik1 − ik1 B1 = ik 2 A2 − ik 2 B2 ,
A2 e ik2 a + B2 e − ik2 a = A3 e ik1a ,
ik 2 A2 e ik2 a − ik 2 B2 e − ik2 a = ik1 A3 e ik1a .
Решая эту систему, находим амплитуду прошедшей волны
4k 1 k 2 e − ik1a
A3 = .
( k 1 + k 2 )2 e ik2 a − ( k 1 − k 2 )2 e − ik2 a
Коэффициент прохождения частицы над потенциальным порогом D выражает-
ся через векторы плотности потока вероятности для падающей и прошедшей
волн:
