Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики. Мартинсон Л.К - 14 стр.

где x1 и x2 - значения координат, при которых U(x) = Е (рис. 8, б).
       Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которого
превышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта. Отме-
тим, что туннельный эффект представляет собой чисто квантовое явление.
Классическая частица, подходя к барьеру, высота которого больше ее полной
энергии, отражается от него. Пройти через такой барьер она не может. Кванто-
вая частица может пройти через этот потенциальный барьер, причем вероят-
ность ее прохождения испытывает сильную зависимость от массы частицы m0,
ее энергии, а также от вида потенциального барьера U(x).
       Туннельный эффект объясняет ряд важных физических явлений, таких,
например, как холодная эмиссия электронов из металлов, радиоактивный α-
распад ядер, контактную разность потенциалов и т. д. Кроме того, туннельный
эффект находит очень широкое применение в технических приложениях. В ча-
стности, на его основе был создан сканирующий туннельный микроскоп, кото-
рый произвел подлинную революцию в физике и технике поверхности и имеет
широкие перспективы в связи с развитием нанотехнологий.

                        5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме
с непроницаемыми стенками. Найдите отношение разности энергий двух со-
седних энергетических уровней к полной энергии частицы в следующих случа-
ях: 1) п=3, 2) п=10, 3) п= 100, 4) n→∞.
Решение. Используя соотношение (6), находим разность энергий частицы для
(n+1)-го и n -го энергетических уровней. Эта разность определяется выражени-
ем
                                             π 2 !2
                        ∆ E = En+ 1 − En =           ( 2n + 1) .
                                             2m0 a 2
Поэтому искомое отношение есть
                                     ∆ E 2n + 1
                                ε=      =       .
                                     En   n2
Проанализируем, как зависит величина ε от значения квантового числа n. Рас-
чет дает ε=0,77 для n=3, ε=0,21 для n=10 и ε=0,21 для п=100. Следовательно,
искомое отношение ε уменьшается с увеличением значения квантового числа n
и стремится к нулю при n→∞.
      Полученный результат означает, что с увеличением n, т. е. с увеличением
энергии частицы, дискретность энергетических уровней становится менее су-
щественной, поскольку с ростом n и энергетическое расстояние между сосед-
ними уровнями уменьшается и при больших значениях n становится пренебре-
жимо малым по сравнению с энергией частицы. Это значит, что энергетический
спектр частицы в этих условиях можно считать практически непрерывным, как
и у классической частицы. Поэтому случай больших значений квантового числа
n называется квазиклассическим, т. е. почти классическим случаем.

Задача 2. Частица массой m0 находится в двумерной квадратной потенциаль-