Составители:
12
2
3/2
22
0
22
000
md222
F( ) f { ( )} 4 exp
d 2 kT m m kT m
πππ
ππππππ
πππ
λλ π
λλ πλλ π
λλ π
λπ λ λλ
λπ λ λλλπ λ λλ
λπ λ λλ
== −
== −== −
== −
!!!
v
v
Отсюда находим функцию распределения молекул по длинам волн де Бройля в виде
3/2
222
4
2
00
22
F( ) 4 exp
mkT mkT
ππ
ππππ
ππ
λπ λ
λπ λλπ λ
λπ λ
λ
λλ
λ
−
−−
−
=−
=−=−
=−
!!
Определяя теперь наиболее вероятную длину волны де Бройля
λ
λλ
λ
*
Б
как длину волны,
соответствующую максимуму функции F(
λ
), т.е. находя ее из условия dF/d
λ
λλ
λ
=0 при
λ
λλ
λ
=
λ
λλ
λ
*
Б
, получаем
*
A
Б
0
N
kT
mkT
π
ππ
π
λπ
λπλπ
λπ
µ
µµ
µ
==
====
==
!
!
Расчет по этой формуле дает значение
λ
λλ
λ
*
Б
=0,89
⋅
10
-10
м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1.
Оцените длину волны де Бройля
λ
λλ
λ
Б
для частицы лабораторных мас-
штабов, например, массой m
0
=10
-3
кг, движущейся со скоростью v=10 м/с. Нужно ли
учитывать волновые свойства у таких частиц?
Ответ:
м. Не нужно
32
Б
0
2
6,62 10
m
π
ππ
π
λ
λλ
λ
−
−−
−
==⋅
==⋅==⋅
==⋅
!
v
Задача 2.
Вычислите длину волны де Бройля
λ
λλ
λ
Б
теплового нейтрона, т.е. ней-
трона, находящегося в тепловом равновесии со средой, имеющей комнатную темпе-
ратуру Т=300 К.
Ответ:
Б
0
2
3m kT
π
ππ
π
λ
λλ
λ
=
==
=
!
;
10
Б
1,45 10
λ
λλ
λ
−
−−
−
=⋅
=⋅=⋅
=⋅
м.
Задача 3.
Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти элек-
трон, чтобы его длина волны де Бройля
λ
λλ
λ
Б
была равна 0,1 нм?
Ответ:
22
2
0 Б
2
U
me
π
ππ
π
λ
λλ
λ
=
==
=
!
; U=150 B.
Задача.4.
Электрон движется по окружности радиусом R=0,5 см в однородном
магнитном поле с индукцией В=8
⋅
10
-3
Тл. Определите длину волны де Бройля элек-
трона
λ
λλ
λ
Б
.
Ответ:
Б
2
;
eRB
π
ππ
π
λ
λλ
λ
=
==
=
!
м
10
Б
1,3 10.
λ
λλ
λ
−
−−
−
=⋅
=⋅=⋅
=⋅
3/ 2 2
dv m0 2π ! 2π 2 ! 2 2π !
F ( λ ) = f { v( λ )} = 4π exp − 2
dλ 2π kT m λ
0 m0 kT λ m0 λ
2
Отсюда находим функцию распределения молекул по длинам волн де Бройля в виде
3/ 2
2π ! 2 2π 2 ! 2
F ( λ ) = 4π λ −4 exp − 2
m0 kT m0 kT λ
Определяя теперь наиболее вероятную длину волны де Бройля λ*Б как длину волны,
соответствующую максимуму функции F(λ), т.е. находя ее из условия dF/dλ=0 при
λ=λ*Б, получаем
π! NA
λБ* = =π!
m0 kT µ kT
Расчет по этой формуле дает значение λ*Б=0,89⋅10-10 м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1. Оцените длину волны де Бройля λБ для частицы лабораторных мас-
штабов, например, массой m0=10-3 кг, движущейся со скоростью v=10 м/с. Нужно ли
учитывать волновые свойства у таких частиц?
2π !
Ответ: λ Б = = 6 ,62 ⋅ 10 −32 м. Не нужно
m0 v
Задача 2. Вычислите длину волны де Бройля λБ теплового нейтрона, т.е. ней-
трона, находящегося в тепловом равновесии со средой, имеющей комнатную темпе-
ратуру Т=300 К.
2π !
Ответ: λБ = ; λ Б = 1,45 ⋅ 10 −10 м.
3m0 kT
Задача 3. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти элек-
трон, чтобы его длина волны де Бройля λБ была равна 0,1 нм?
2π 2 ! 2
Ответ: U = ; U=150 B.
m0 eλБ2
Задача.4. Электрон движется по окружности радиусом R=0,5 см в однородном
магнитном поле с индукцией В=8⋅10-3 Тл. Определите длину волны де Бройля элек-
трона λБ.
2π !
Ответ: λБ = ; λ Б = 1,3 ⋅ 10 −10 м .
eRB
12
