Волновые свойства частиц, гипотеза Де Бройля. Мартинсон Л.К - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1.
Получите выражение для длины волны де Бройля релятивистской
частицы, обладающей кинетической энергией Е
К
.
При каких значениях Е
К
ошибка в
определении длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле не превышает
одного процента: а) для электрона, б) для протона?
Решение.
В нерелятивистском случае кинетическая энергия частицы определя-
ется по формуле
2
0
K
m
E
=
==
=
v
2
. Поэтому с
учетом (1) для длины волны де Бройля
движущейся частицы получаем
Б
0
0k
hh 2
.
pm
2m E
π
ππ
π
λ
λλ
λ
== =
== === =
== =
!
v
(4)
В релятивистском случае, когда скорость частицы
v
сравнима со скоростью
света в вакууме с, формула для кинетической энергии частицы, масса которой равна
т
0
, имеет вид
22 2
K00
2
1
E=mc-mc=mc 1
1 (/c)
−
−−
−
−
−−
−
[]
v
Из этого соотношения находим
2
kk
0
22
00
EE
с1 1 ,m m 1
mc mc
−
−−
−
 
  
 
=−+ = +
=−+ = +=−+ = +
=−+ = +
 
  
 
 
  
 
v
Отсюда получаем релятивистскую формулу связи импульса частицы с ее кинетиче-
ской энергией
(
((
()
))
)
2
k
0kk0
2
0
E 1
pm mc 11EE 2E
mc c



== + −= +
== + −= +== + −= +
== + −= +






v
.
Здесь E
0
=m
0
c
2
- энергия покоя частицы. Полученную формулу можно преобразовать
к виду
k
0k
0
E
p2mE1
2E
=+
=+=+
=+
,
что позволяет записать формулу для длины волны да Бройля релятивистской части-
цы
1
2
k
Б
0
0k
Eh2
1
p2E
2m E
π
ππ
π
λ
λλ
λ
−
−−
−



′
′′
′
== +
== +== +
== +






!
(5)
Из формул (4) и (5) находим относительную ошибку
ε
при определении длины вол-
ны де Бройля по нерелятивистской формуле: 
                          ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

     Задача 1. Получите выражение для длины волны де Бройля релятивистской
частицы, обладающей кинетической энергией ЕК. При каких значениях ЕК ошибка в
определении длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле не превышает
одного процента: а) для электрона, б) для протона?

     Решение. В нерелятивистском случае кинетическая энергия частицы определя-
                      m0 v 2
ется по формуле E K =        . Поэтому с учетом (1) для длины волны де Бройля
                       2
движущейся частицы получаем
                                    h   h             2π !
                             λБ =     =    =                .                  (4)
                                    p m0 v           2m0 Ek
      В релятивистском случае, когда скорость частицы v сравнима со скоростью
света в вакууме с, формула для кинетической энергии частицы, масса которой равна
т0, имеет вид
                                                           1
                    E K = mc 2 - m0 c 2 = m0 c 2 [                      − 1]
                                                      1 − ( v / c )2
Из этого соотношения находим
                                               −2
                                E                                E 
                     v = с 1−1+ k 2                , m = m0  1 + k 2 
                               m0 c                             m0 c 
Отсюда получаем релятивистскую формулу связи импульса частицы с ее кинетиче-
ской энергией
                                                2
                                      E          1
                  p = m v = m0 c  1 + k 2  − 1 =   E k ( E k + 2E0 ) .
                                     m0 c        c
Здесь E0=m0c2 - энергия покоя частицы. Полученную формулу можно преобразовать
к виду
                                              E
                               p = 2m0 Ek 1 + k ,
                                             2E0
что позволяет записать формулу для длины волны да Бройля релятивистской части-
цы
                                                                    1
                                                                −
                               h   2π !                Ek         2
                                                                               (5)
                          λБ′ = =                   1+     
                               p  2m0 Ek               2E0 
Из формул (4) и (5) находим относительную ошибку ε при определении длины вол-
ны де Бройля по нерелятивистской формуле:



                                                                                     4

Страницы