Темы философии науки. Мартынович С.Ф. - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

206
подразумевая под «множеством» количество, имеют в виду определённый
порядок счёта его элементов. В соответствии с этим, Кауфман даёт
определение понятию натурального числа, как элемента структуры,
заданного постулатами: «1) существует один и только один элемент, с
наличием которого совместимо отсутствие любого другого элемента; 2)
для каждого элемента Z
m
существует один и только один элемент Z
n
, с
наличием которого несовместимо отсутствие Z
m
, кроме того, наличие Z
n
несовместимо также с отсутствием таких отличных от Z
m
и Z
n
элементов,
отсутствие которых несовместимо с наличием Z
m
; 3) отношение между Z
m
и Z
n
, заданное пунктом 2, несовместимо с наличием такого же отношения
между каким-то другим элементом Z
n
»
290
. Эти три постулата совпадают с
первыми четырьмя аксиомами Пеано, и выгодно отличаются от них тем,
что в них отчетливо видна связь с процессом счёта, и тем, что исключён
т.н. «принцип полной индукции», которой фигурирует у Пеано в виде
пятой аксиомы и вызывает теоретико-познавательные трудности
осмысления понятия натурального числа. А именно, исключая вместе с
принципом индукции также мысль о необходимости бесконечного числа
шагов в доказательстве, Кауфман фактически заявляет о возможности
установить полноту и непротиворечивость арифметики, что противоречит
знаменитым теоремам Гёделя и выглядит революционным, если можно так
выразиться, эпистемологическим результатом. Кроме того, полнота
системы арифметики даёт Кауфману право снять ограничения (в рамках
своего толкования проблемы, разумеется) с использования в математике
«закона исключённого третьего», которые были наложены
интуиционистской теорией Брауэра. Проблема порочного круга также, по
мнению Кауфмана, порождена требованием определимости элементов
неперечислимой бесконечной «области», т.е. некорректным пониманием
сущности логической абстракции. Невнимание к данной ошибке приводит
к тому, что в теории множеств, при невозможности образовать логически
корректное понятие «любой последовательности» натуральных чисел
(такое, чтобы ему соответствовала каждая конкретная последовательность,
охватывающая многообразие последовательностей) существование этого
многообразия просто постулируется, что, конечно, не может считаться
правильным методом образования множеств и основанием для
восхождения к более высоким трансфинитным мощностям.
Обобщая, можно сказать, что, как неопозитивист, Кауфман строит
свою критику на попытке уточнения и разделения понятия «класс»,
которое, в нестрогом смысле употребляемое в обыденном языке,
привносит неточность в математические рассуждения, на два
взаимоисключающих термина, первый из которых должен был бы
относиться к дедуктивным дисциплинам, а второй – к «реальным» наукам.
290
Там же: С. 269.

Страницы