Прямая и плоскость. Машанов В.И - 30 стр.

UptoLike

Найдем расстояние от точки до прямой как высоту
параллелограмма, построенного на векторах
01
MM и l (см.
рис.21)
[
]
.
,
01
l
lMM
l
S
h ==
Построив параллелепипед на векторах
2121
,, MMll ,
получаем, что прямые являются ребрами, лежащими в
противоположных гранях, поэтому искомое расстояние найдем
как высоту параллелепипеда:
[ ]
.
),,(
21
2121
ll
MMll
H ±=
В случае
прямые пересекаются. В случае параллельности прямых Н не
определенна. В этом случае расстояние можно найти по формуле
h, взяв любую точку второй прямой за .
0
M
8. Общий перпендикуляр двух прямых
Две скрещивающиеся прямые
11
ltMP +=
22
ltMQ +=
имеют единственный общий перпендикуляр. Чтобы его
найти, возьмем вектор
.
1212
ltlrMMPQ +=
Потребовав выполнение условий ,0),(,0),(
21
== lPQlPQ
получим на t и r систему линейных уравнений. Пусть
0
t и
0
r -
решения этой системы. Тогда
)(
1010
ltMP + и )(
1020
lrMQ + -
основания общего перпендикуляра, уравнение которого можно
записать по точкам.
     Найдем расстояние от точки до прямой как высоту
параллелограмма, построенного на векторах M 1 M 0 и l (см.
рис.21)
                            S            [
                                 M 1M 0 , l        ]
                        h= =                .
                             l       l
     Построив параллелепипед на векторах l1 , l 2 , M 1 M 2 ,
получаем, что прямые являются ребрами, лежащими в
противоположных гранях, поэтому искомое расстояние найдем
как высоту параллелепипеда:
                              (l , l , M M )
                        H =± 1 2 1 2 .
                                     l1l 2   [ ]
      В случае

      прямые пересекаются. В случае параллельности прямых Н не
определенна. В этом случае расстояние можно найти по формуле
h, взяв любую точку второй прямой за M 0 .

       8. Общий перпендикуляр двух прямых

      Две скрещивающиеся прямые

                           P = M 1 + t ⋅ l1
                           Q = M 2 + t ⋅ l2
     имеют единственный общий перпендикуляр. Чтобы его
найти, возьмем вектор
                      PQ = M 2 − M 1 + rl 2 − t ⋅ l1 .
     Потребовав выполнение условий ( PQ,l1 ) = 0, ( PQ,l 2 ) = 0 ,
получим на t и r систему линейных уравнений. Пусть t 0 и r0 -
решения этой системы. Тогда P0 ( M 1 + t 0 ⋅ l1 ) и Q0 ( M 2 + r0 ⋅ l1 ) -
основания общего перпендикуляра, уравнение которого можно
записать по точкам.