Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

10
Свойство 1.1. Ассоциативность. Бинарная операция
»
«
•
на множе-
стве
M
называется ассоциативной, если
Mcba
∈
∀
,,
выполнено
(
)
(
)
cbacba ••=••
.
Свойство 1.2. Коммутативность. Бинарная операция
»
«
•
на мно-
жестве М называется коммутативной, если
Mba
∈
∀
,
выполнено
abba •=•
.
Выполнение свойств операций 1.1 и 1.2 отражается и в названии со-
ответствующих алгебраических структур
»«, •M
, т.е. коммутативная
или ассоциативная или то и другое одновременно.
Свойство 1.3. Наличие нейтрального элемента
Me
∈
(∅ – нуль
или
E
– единица: нуль – для структур с бинарной операцией типа «сло-
жение» –
⊕
; единица – для структур с бинарной операцией типа «умно-
жение» –
⊗
). Элемент
Me
∈
называется нейтральным, если для любого
элемента
Mm
∈
выполняется равенство
m
m
m
=
•
=
•
(или
memme
rl
=•=•
, где
rl
ee ,
– соответственно левый и правый нейтраль-
ный элемент).
Свойство 1.4. Наличие противоположного и обратного элемента.
Пусть
Mcba
∈
,,
. Противоположным элементу
a
называется элемент
(
)
ab −=
, если выполняется равенство
ba
⊕
=
∅
. Обратным элементу
a
называется элемент
(
)
1−
= ac
, если выполняется равенство
Eca
=
⊗
, где
⊕
и
⊗
– операции типа «сложение» и «умножение».
Определение группоида. Система вида
»«, •M
называется группои-
дом. Если
»
«
•
– операция типа умножения, то группоид называют мульти-
пликативным, если
»
«
•
– операция типа сложения, то аддитивным.
Группоид
»«, •M
называется идемпотентным, если его сигнатура
удовлетворяет закону идемпотентности:
(
)
mmmMm =•∈∀
.
Группоид
»«, •M
называется коммутативным (абелевым), если
его сигнатура удовлетворяет закону коммутативности.
Определение полугруппы. Группоид
»«, •M
, в котором выполняет-
ся закон ассоциативности, называется полугруппой.
Например. Любое множество функций, замкнутое относительно
суперпозиции, образует полугруппу.

Страницы