Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11
Определение моноида. Полугруппу с нейтральным элементом при-
нято называть моноидом.
Теорема. Нейтральный элемент моноида единственен.
Доказательство. Предположим, что
21
ee ≠∃
– нейтральные элемен-
ты. Тогда
Ma
∈
∀
(
aaeea =•=•
11
) и (
aaeea =•=•
22
). В результате
получаем
121
eee =•
и
21221
eeeee =⇒=•
. Теорема доказана.
Определение группы. Группой называется полугруппа
»«, •M
,
в которой выполнимы обратные операции:
Mba
∈
∀
,
каждое из уравнений
bxa =•
,
bay
=
•
обладает единственным решением.
Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, но
чаще её называют абелевой в честь норвежского математика Абеля.
Алгебра с двумя операциями.
Свойство 1.5. Дистрибутивность. Пусть
OMzyx ∈⊗⊕∈ ,;,,
–
операции типа «сложение» и «умножение», тогда может иметь место:
– дистрибутивность умножения относительно сложения справа
(слева):
(
)
zxyxzyx ⊗⊕⊗=⊕⊗
(
)
{
}
xzxyxzy ⊗⊕⊗=⊗⊕
;
– дистрибутивность сложения относительно умножения справа
(слева):
(
)
(
)
(
)
zxyxzyx ⊕⊗⊕=⊗⊕
(
)
(
)
(
)
{
}
xzxyxzy ⊕⊗⊕=⊕⊗
.
Определение кольца. Пусть
Mcba
∈
,,
. Кольцом называется алгебра
⊕⊗,,M
, которая по умножению является мультипликативным груп-
поидом, по сложению – абелевой группой, причём умножение связано со
сложением законами дистрибутивности:
(
)
(
)
.; acabacbcabacba ⊗⊕⊗=⊗⊕⊗⊕⊗=⊕⊗
Определение тела. Телом называется кольцо, в котором все отлич-
ные от нуля элементы составляют группу по умножению.
Определение поля. Тело, у которого мультипликативная группа абе-
лева, называется полем.
1.4. МЕТОДЫ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ В МАТЕМАТИКЕ
Математическая логика – наука, изучающая саму математику мате-
матическими средствами. Одной из основных задач при этом является
однозначное толкование и запись математических выражений (суждений,

Страницы