Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

9
1. Множество
M
называют несущим, или основным множеством.
2. Совокупность алгебраических операций и отношений алгебраи-
ческой системы называют сигнатурой
Σ
. В этом случае алгебраическая
система записывается парой
Σ,M
.
3. Алгебраическая система
OM,
называется универсальной алгеб-
рой (или просто алгеброй), если на основном множестве M множество
отношений
R
пусто (т.е.
R
= ∅
∅∅
∅).
4. Алгебраическая система
RM ,
называется реляционной систе-
мой (или моделью), если на основном множестве M заданы только отно-
шения R (т.е. в этом случае пусто множество операций O.
Пример 1.1. Аксиоматическая теория множеств
ROM ,,
, где
M – некоторые множества;
{
}
,, IU=O
– множество из операций объ-
единения (
U
), пересечения (
U
) и дополнения ( ) множеств, а
{
}
⊆=R
–
множество, состоящее из отношения включения
⊆
.
Пример 1.2. Алгебра Кантора (алгебра множеств)
OM
,
. Несущим
множеством является булеан
)(UB
(т.е. множество всех подмножеств
данного множества
U
), а множеством операций
{
}
,, IU=O
.
Пример 1.3. Метрическое пространство
RM,
, где R – метрика, яв-
ляется реляционной системой. Например:
Mzyx
∈
,,
– множество точек с
расстоянием между ними
0
R
, удовлетворяющим:
1) аксиоме идентичности:
yxyxR
⇔
0),(
;
2) аксиоме симметрии:
),(),( xyRyxR
;
3) аксиоме треугольника:
),(),(),( zydyxdzxd +≤
.
Алгебры с унарными операциями. Самые простые алгебры
A =
1
, FM
– это алгебры со множеством унарных операций
1
F
. Самыми
простыми будут алгебры с единственной операцией, т.е.
{
}
fF =
1
,
где
MMf →:
.
Алгебры с бинарными операциями. Бинарные алгебры имеют вид
A =
2
, FM
. Самой простой из них будут алгебры с одной бинарной
операцией
MMMg
→
:
.

Страницы