Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

26
2.3.2. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Определение 2.13. Матрица
1−
A
называется обратной для квадратной
матрицы
A
, если
E
A
A
AA
=
=
−− 11
, где
E
– единичная матрица.
Замечание. Только квадратные матрицы могут иметь обратную.
Теорема 2.1 (о существовании обратной матрицы). Всякая невырож-
денная матрица
)0(det ≠=
×
AAA
nn
имеет обратную матрицу
1−
A
:
A
A
AAA
AAA
AAA
A
A
nnnn
n
n
~
det
1
...
............
...
...
det
1
21
22212
12111
1
=
=
−
, (2.4)
где
),1;,1( njniA
ij
==
– алгебраические дополнения;
A
~
– присоединён-
ная (или взаимная) матрица к матрице
A
.
Доказательство. Пусть
1−
A
определена в соответствии с (2.4).
Докажем, что
E
AA
=
−1
. Имеем:
C
A
AA
A
A
A
AAA
1
~
1
~
1
1
===
−
,
где элемент
ij
c
определяется умножением i-й строки
A
на j-й столбец
матрицы
A
~
, т.е.
≠
=
=+++=
ji
jiA
AaAaAac
jninjijiij
,0
,det
...
2211
В результате получаем:
.
1...00
............
0...10
0...01
det...0
............
0...det0
0...0det
det
1
...
............
...
...
...
............
...
...
det
1
2
21
22212
12111
21
22212
11211
=
=
=
AA
A
A
A
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
A
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
Аналогично доказывается, что
E
A
A
=
−1
. Теорема доказана.
(определение 2.7);
(п. 2.2.3, свойство 9
).

Страницы