Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

28
2.3.3. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. РАНГ МАТРИЦЫ
Над строками и столбцами матриц можно проводить преобразования,
в результате которых они сохраняют некоторые свои свойства.
Элементарными называются следующие операции над матрицей.
1. «Перестановка» – перестановка строк или столбцов матрицы.
Перестановку строк
i
A
и
j
A
исходной матрицы можно получить
умножением слева на матрицу перестановки
ji
P
, т.е.
APA
ij
=
′
.
Для перестановки столбцов необходимо умножить исходную матри-
цу справа на матрицу перестановки
ij
P
, т.е.
ij
PAA =
′
.
2. «Масштабирование» – умножение всех элементов некоторой стро-
ки или столбца на число
α
.
Масштабирование строки
i
A
получается умножением слева на мат-
рицу масштабирования
)(
aR
i
, т.е.
ARA
i
)(α=
′
.
Масштабирование столбца
i
A
получается умножением справа на
матрицу масштабирования
)(
aR
i
, т.е.
)(α=
′
i
RAA
.
3. «Замещение» – прибавление к элементам некоторой строки
(столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца),
умноженных на произвольное число α.
Для замещения строки
i
A
суммой строк
ji
AA
α+
необходимо ум-
ножить матрицу
A
слева на
)(aN
ij
, т.е.
ANA
ij
)(
α=
′
.
Для замещения столбца
i
A
суммой столбцов
j
i
AA α+
необходимо
умножить справа на транспонированную матрицу замещения
)(
aN
ij
исходную матрицу
A
, т.е.
(
)
T
ij
NAA )(α=
′
.
Определение 2.14. Матрицы
A
и
B
называются эквивалентными
(
)
BA ∼
, если
A
получена из матрицы
B
при помощи конечного числа
элементарных преобразований.
Определение 2.15. Прямоугольная матрица называется ступенчатой,
если в каждой её строке, начиная со второй, её первый отличный от нуля
элемент расположен правее первого ненулевого элемента в предыдущей
строке.
С помощью элементарных преобразований строк или столбцов мат-
рицу можно привести к ступенчатому виду.
Определение 2.16. Рангом
A
r
матрицы
A
называется число ненуле-
вых строк ступенчатой матрицы, эквивалентной матрице
A
.

Страницы