Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

29
A
r
может обозначаться как
)(Ar
или
Arang
. Очевидно, если матри-
ца
A
имеем размер
n
m
×
, то
},min{)( nmAr
≤
, а ранг невырожденной
квадратной матрицы равен её порядку.
Теорема 2.3. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.
Без доказательства.
Пример 2.7. Определить ранг матрицы
A
.
Решение. Элементарными преобразованиями приведём матрицу
−
−
−−
=
6312
4532
4122
A
к ступенчатой.
Первую строку матрицы вычтем из второй и прибавим к третьей (по-
лучили эквивалентную матрицу, имеющую в первом столбце нулевые
поддиагональные элементы), далее из третьей вычтем вторую:
−
−
−−
−
−
−
−−
+
−
−
−
−−
6000
8410
4122
~
II2410
8410
4122
III
II
I
~
I
I
6312
4532
4122
III
II
I
11
1
1
.
Получили ступенчатую матрицу с тремя ненулевыми строками.
Ответ: r (A) = 3.
2.4. ЛИНЕЙНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА МАТРИЦ
Пусть
CBA ,,
– произвольные матрицы;
E
– единичная, а
Θ
– нуле-
вая матрицы. Будем считать, что эти матрицы являются квадратными и
одинаковой размерности;
∈
β
α
1,,
R – действительные числа.
Тогда, относительно операций, определённых в п. 2.3.1 (определе-
ния 2.9 – 2.11), получаем следующую алгебраическую структуру: квад-
ратные матрицы одинаковой размерности с двумя бинарными операциями
– сложением и умножением, для которых выполнены свойства:
1. Коммутативность сложения
A
B
B
A
+
=
+
.
2. Ассоциативность сложения
CBACBA
+
+
=
+
+
)()(
.
3. Существование нулевого элемента
Θ
:
AAA
=
+
Θ
=
Θ
+
.
4. Существование противоположного элемента
Θ=+=+⋅−=∃∀
ABBAABA :)1(
.
5. Дистрибутивность матриц
CABACBA
+
=
+
)(
,
CBCACBA
+
=
+
)(
.

Страницы