Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

30
5′. Дистрибутивность чисел
BABA
α
+
α
=
+
α
)(
,
AAA β+α=β+α )(
.
6. Ассоциативность умножения матриц
CABBCA )()(
=
.
6′. Ассоциативность умножения произведения чисел на матрицу
)()( AA
β
α
=
β
α
.
6″. Ассоциативность умножения числа на произведение матриц
(
)
(
)
BAAB α=α
.
7. Наличие единичного элемента
E
:
AEAAE
=
=
.
7′. Свойство единицы (
∈
1
R):
A
A
=
⋅
8. Существование обратного элемента:
1
!)(det
−
∃≠∀ AOAA
.
9. Некоммутативность умножения матриц
ABBA
≠
.
9″. Коммутативность умножения числа на произведение матриц
(
)
(
)
(
)
(
)
α=α=α=α ABBABAAB
.
10. Наличие делителей нуля (
Θ
), т.е.
Θ=Θ≠∧Θ≠∃ BABA :)()(
.
Замечание 1. Наличие свойств 2 и 6 позволяет избавиться от лишних
скобок в формулах при использовании операций сложения и умножения:
(
)
(
)
...... +++=+++ CBACBA
и
(
)
(
)
...... ABCCBA =
.
Замечание 2. Свойства 1 – 4 характеризуют, что данная структура
представляет собой абелеву группу относительно операции сложения.
Добавление свойства 5 характеризует данную структуру, как кольцо; а
свойств 6 и 7 – как ассоциативное кольцо с единицей. Данное кольцо не
является целостным и, следовательно, не может быть полем, так как
кольцо матриц не обладает коммутативностью умножения (свойство 9) и
имеет делители нуля (свойство 10).
Следует отметить, что само пространство квадратных матриц
одинаковой размерности является линейным:
– операции п. 2.3.1 сохраняют размерность результата операции от-
носительно размерности участвующих в операции операндов;
– выполнены свойства 1 – 4 как абелевой группы относительно
операции сложения;
– выполнены законы дистрибутивности умножения действительно-
го числа на сумму матриц и умножения суммы чисел на матрицу (свойст-
во 5′), ассоциативности умножения чисел на матрицу (свойство 6′) и
идемпотентности операции умножения числа 1 на матрицу (свойство 7′).

Страницы