Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

32
Матрицы системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
,,,
...
...
...
,
...
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
21
222221
111211
=
=
=
=
′
mn
mnmm
n
n
mmnmm
n
n
b
b
b
B
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
A
baaa
baaa
baaa
A
KK
KK
матрица
A
′
– расширенная матрица системы; матрица
A
– главная (ос-
новная) матрица системы; матрица-столбец
X
– столбец неизвестных;
матрица-столбец
B
– столбец из свободных членов.
Тогда систему (2.5) можно записать в матричной форме:
B
AX
=
. (2.7)
В частности, если система является однородной, то её запись в мат-
ричной форме имеет вид
∅
=
AX
, где ∅ – нулевой столбец.
2.6.2. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ
Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью
решается теоремой Кронекера – Капелли:
Теорема 2.4. Для того, чтобы система линейных уравнений (2.5) бы-
ла совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матри-
цы был равен рангу матрицы системы. Без доказательства.
2.6.3. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СЛАУ
Система в виде (2.7) является матричным уравнением, которое мож-
но решить с помощью обратной матрицы, если
A
является квадратной и
невырожденной, что означает совпадение числа уравнений с числом неиз-
вестных (
n
=
) и отличие от нуля определителя системы: 0det
≠
=
∆
A .
Тогда решение системы (2.7) находится по формуле:
B
A
X
1−
=
. (2.8)
Такой метод решения системы (2.7) называется матричным.
Пример 2.8. Решить матричным методом систему уравнений:
=+
=+
.1243
,42
yx
yx
Решение. Выпишем матрицу системы, столбцы неизвестных и сво-
бодных членов и найдём матрицу, обратную матрице
A
:

Страницы