Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

36
нений. Решение этой ступенчатой системы уравнений составляет суть
обратного хода метода Гаусса, в котором, начиная с последнего уравне-
ния, последовательно вычисляются неизвестные с большим порядковым
номером, и их значения подставляются в предыдущие уравнения системы
для вычисления неизвестных с меньшим порядковым номером.
Исследование системы в конце прямого хода происходит в соответствии
с теоремой Кронекера – Капелли сравнением рангов матрицы системы
A
и
расширенной матрицы
A
′
. При этом возможны следующие случаи:
1) если
AA rangrang >
′
, то система несовместна;
2) если
nAA ==
′
rangrang
, то система является определённой;
3) если
nAA <=
′
rangrang
, то система является неопределённой.
Если система является неопределённой, т.е. выполняется
nAA <=
′
rangrang
, то некоторые её неизвестные объявляются свободны-
ми, а остальные через них выражаются. Количество свободных неизвест-
ных равно
Ank rang
−
=
. Процесс отнесения неизвестных к свободным
можно описать следующим образом. При выполнении обратного хода
метода Гаусса в каждом очередном уравнении, после подстановки най-
денных ранее переменных, должна остаться ровно одна неизвестная. Если
неизвестных при этом остаётся более одного, то остальные объявляются
свободными.
Пример 2.10. Решить методом Гаусса систему уравнений:
=−+
−=−+
=−+
.12638
,2
,934
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Решение. Расширенную матрицу системы приведём к ступенчатому
виду элементарными преобразованиями строк (прямой ход):
1) перестановка первой и второй строк расширенной матрицы;
2) замещение: из второй строки вычитаем 4, а из третьей – 8 первых:
;
I8
I4
12
9
2
638
314
111
III
II
I
~
III
I
II
12
2
9
638
111
314
III
II
I
1
1
1
1
1
⋅−
⋅−
−
−
−
−
−
−
−
−
3) масштабирование третьей строки: умножение на
(
)
31−
;
4) замещение: из третьей строки вычитаем
(
)
35
вторых:
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
31
317
2
3100
3110
111
III
II
I
~
II35
31
28
17
2
250
130
111
III
II
I
3
3
3
22
2
2
.

Страницы