ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40
Определение 3.6. Линейной оболочкой
[
]
m
xxx ...,,,
21
системы векто-
ров
т
ххх ...,,,
21
линейного пространства
L
называется множество всех
линейных комбинаций системы векторов
т
ххх ...,,,
21
:
[ ]
=∈α==
∑
=
m
i
iiim
miRaxyyxxx
1
21
,1,,:...,,,
.
3.2. КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ. БАЗИС
Определение 3.7. Два вектора
a
и
b
называются коллинеарными,
если существует такое число λ (число µ), что выполняется равенство
ab λ=
(
ba µ=
). (3.1)
Проще это выражается следующим образом: векторы, расположен-
ные на одной прямой или на параллельных прямых, – коллинеарны.
Теорема 3.1. Любой вектор плоскости единственным образом можно
представить в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных
векторов этой плоскости.
Доказательство (геометрическое). Рас-
смотрим на плоскости два неколлинеарных век-
тора
a
и
b
, а также произвольный вектор
x
.
Поместим в точке О начала всех трёх векторов.
На рисунке 3.4 приведена одна из возможных
ситуаций. Построим параллелограмм, диагона-
лью которого является вектор
x
, со сторонами
параллельными прямым, на которых лежат векторы
a
и
b
. Тогда по пра-
вилу параллелограмма
bax µ+λ=
. (3.2)
Докажем единственность выражения (3.2). От противного: предпо-
ложим, что существуют два других числа
α
и
β
, например,
λ
≠
α
, такие,
что
bax
β+α=
. Вычтем из последнего равенства равенство (3.2), тогда
по свойствам линейных операций
bababa
λ−α
β−µ
=⇒β−µ=λ−α⇒µ−β+λ−α=∅ )()()()(
,
т.е.
a
и
b
– коллинеарные, что противоречит условию теоремы.
Следовательно, выражение (3.2) единственное. Теорема доказана.
Рис. 3.4.
О
a
b
bµ
a
λ
x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
