Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

41
Определение 3.8. Три вектора
a
,
b
и
c
называются компланарными,
если один из них можно представить в виде линейной комбинации
остальных, т.е. существуют числа λ и µ, что выполняется равенство
bac µ+λ=
. (3.3)
Из равенства (3.3) следует, что вектор c является диагональю парал-
лелограмма, построенного на векторах
aλ
и b
µ
, следовательно, векторы
a , b и c лежат в одной плоскости. Итак, компланарные векторы лежат в
одной плоскости или в параллельных плоскостях (так как векторы можно
перемещать параллельно себе в пространстве).
Теорема 3.2. Любой вектор x пространства единственным образом
можно представить в виде линейной комбинации трёх некомпланарных
векторов, т.е. cbax
γ+µ+λ=
, где векторы a , b и c некомпланарны;
λ
,
µ
и
γ
– числа.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.
Определение 3.9. Любые два упорядоченных неколлинеарных векто-
ра называются базисом на плоскости. Любые три упорядоченных неком-
планарных вектора называются базисом в пространстве.
Плоскость и пространство будем обозначать
2
R
и
3
R
, соответст-
венно, по числу базисных векторов. Пусть
{
}
321
;; eee
– базис в про-
странстве
3
R
. По теореме 3.2 для любого вектора
3
R
∈x
выполняется
равенство
332211
eeex α+α+α=
, которое называется разложением век-
тора
x
по базису
{
}
321
;; eee
. Аналогичное разложение можно записать и
для векторов плоскости
2
R
.
Определение 3.10. Коэффициенты
321
,, ααα
в разложении вектора
по базису называются координатами вектора в этом базисе.
Обозначение:
);;(
321
ααα=x
в базисе
{
}
321
;;
eee
.
Векторы можно задавать координатами. Из единственности разложе-
ния вектора по базису следует, что вектор задаётся своими координатами
однозначно. Тогда для выполнения линейных операций над векторами не
требуется проводить геометрических построений.

Страницы