ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
43
3.3.1. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
Определение 3.11. Система векторов
т
ххх ...,,,
21
пространства
n
R
называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел
m
ααα ...,,,
21
(набор называется нулевым, если
0...
21
=α==α=α
т
)
такой, что выполняется равенство
∅=α++α+α
тт
ххх ...
2211
, (3.4)
где
∅
– нулевой вектор (вектор с нулевыми координатами). Если же для
векторов
т
ххх ...,,,
21
равенство (3.4) выполняется только при
0...
21
=α==α=α
т
, то эти векторы называются линейно независимыми.
Теорема 3.3. Система из m векторов пространства
n
R
является ли-
нейно независимой тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составлен-
ной из координат этих векторов, равен m.
Доказательство. Подставим в равенство (3.4) вместо векторов соот-
ветствующие им наборы чисел:
=
α++
α+
α
0
...
0
0
...
...
......
2
1
2
22
21
2
1
12
11
1
тп
т
т
т
пп
х
х
х
х
х
х
х
х
х
,
здесь в столбцах расположены наборы чисел
,...,,1, njх
ij
=
соответст-
вующие вектору
mix
i
...,,1, =
. Выполним действия по правилам линей-
ных операций в пространстве
n
R
. Так как каждый вектор в
n
R
одно-
значно определяется упорядоченным набором чисел, приравняем «коор-
динаты» равных векторов, получим систему
n
линейных однородных
алгебраических уравнений с
m
неизвестными
m
ααα ...,,,
21
:
=α++α+α
=α++α+α
=α++α+α
.0...
...
,0...
,0...
2211
2222112
1221111
ттппп
тт
тт
ххх
ххх
ххх
(3.5)
Очевидно, в силу эквивалентных преобразований, линейная незави-
симость системы векторов
т
ххх ...,,,
21
эквивалентна тому, что однород-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
