Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

44
ная система (3.5) имеет единственное нулевое решение. Совместная сис-
тема тогда и только тогда имеет единственное решение, когда ранг мат-
рицы системы (матрица системы составлена из координат векторов
т
ххх ...,,,
21
) равен числу неизвестных, т.е. m.
Теорема доказана.
На практике теорема 3.3 используется для установления факта
линейной зависимости или независимости векторов пространства
n
R
.
3.3.2. БАЗИС В n-МЕРНОМ ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Определение 3.12. Любая упорядоченная система
n
линейно незави-
симых векторов пространства
n
R
называется его базисом.
Теорема 3.4. Каждый вектор пространства
n
R
единственным обра-
зом представим в виде линейной комбинации векторов базиса.
Доказательство. Пусть
{
}
n
eee ...;;;
21
– базис в
n
R
;
x
– произ-
вольный вектор из
n
R
. Если покажем, что существует единственный
набор чисел
n
λλλ
...,,,
21
такой, что выполняется равенство
пп
eeex λ++λ+λ= ...
2211
, (3.6)
то теорема будет доказана. Преобразуем равенство (3.6), подставляя вме-
сто векторов соответствующие наборы чисел:
λ++
λ+
λ=
пп
п
п
п
ппп
е
е
е
е
е
е
е
е
е
х
х
х
...
...
.........
2
1
2
22
21
2
1
12
11
1
2
1
,
здесь в левом столбце расположен набор чисел, соответствующих вектору x ,
а в столбцах правой части расположены наборы чисел
(
)
nje
ij
,1=
, соот-
ветствующие вектору
(
)
nie
i
,1
=
. Выполним действия по правилам ли-
нейных операций в пространстве
n
R
. Так как каждый вектор в
n
R
одно-
значно определяется упорядоченным набором чисел, приравняем коорди-
наты векторов. В результате получим систему
n
линейных алгебраиче-
ских уравнений с n неизвестными
n
λλλ
...,,,
21
:

Страницы