Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

49
3.4.4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение 3.16. Скалярным произведением двух векторов
a
и
b
называется число
ba
(или (
ba,
)), равное произведению длин этих векто-
ров на косинус угла между ними (рис. 3.15):
ϕ= cos
baba
. (3.10)
Из определения 3.16 и теоремы 3.5 следует:
abbaba
b
a
прпр ==
. (3.11)
Свойства скалярного произведения.
1. Коммутативность
;
abba =
2. Дистрибутивность
(
)
;
cbcacba +=+
3.
(
)
(
)
(
)
;,,,
bababa λ=λ=λ
4.
.
2
2
aaaa ==
Доказательство свойств скалярного произведения.
Свойство 1. Доказательство получается непосредственно из (3.10):
ababbaba =ϕ=ϕ= coscos
.
Свойство 2. Доказательство следует из (3.11) и свойств проекции:
(
)
(
)
cbcabcacbaccba
ccc
+=+=+=+ прпрпр
.
Свойство 3. При λ = 0 – свойство очевидно. Пусть λ > 0, тогда угол
между векторами
a
и
bλ
такой же, как и между
a
и
b
, т.е. φ. Из опреде-
ления 3.16 получим:
(
)
(
)
(
)
bababababa ,,coscos, λ=λ=ϕλ=ϕλ=λ
.
Пусть λ < 0, тогда угол между векторами
a
и
bλ
равен
π
±
ϕ
, так как
направление вектора
bλ
отличается на π от направления вектора
b
(про-
тивоположное к
b
), тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
.,,cos
coscos,
bababa
bababa
λ=λ=ϕλ=
=ϕ−λ−=π+ϕλ=λ
Рис. 3.15
a
b
ϕ
a
b
пр

Страницы