Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

51
Используя формулу (3.12), можно записать признак ортогональности
векторов в координатной форме
0=++⇔⊥
zzyyxx
babababa
.
Пример 3.1. Доказать, что диагонали
AC
и
BD
четырёхугольника с
вершинами
)2;2;1( −А
,
)0;4;1(В
,
)1;1;4(−С
и
)3;5;5(
−
−
D
взаим-
но перпендикулярны.
Решение. Найдём координаты векторов AC и
BD
(рис. 3.16), вычи-
тая из координат конца соответствующие координаты начала вектора:
{
}
{
}
1;3;521;21;14 −−=−+−−=
AC ;
{
}
{
}
3;9;603;45;15 −−=−−−−−=
BD .
По признаку ортогональности векторов
0=⋅⇔⊥ BDACBDAC
,
поэтому вычислим скалярное произведение векторов
AC
и
BD
по фор-
муле (3.10):
(
)
(
)
032730319365 =−−=⋅−−⋅+−⋅−=⋅ BDAC
. Следова-
тельно, векторы
AC
и
BD
ортогональны.
Метод «Операции с векторами в координатах» позволяет решать
обширный круг задач по нахождению различных геометрических харак-
теристик векторов (некоторые из них приведены ниже).
1. Нахождение модуля вектора (свойство 4 скалярного произведения
и формула (3.12)):
(
)
aaa ,=
222
zух
аааa ++=⇒
.
2. Нахождение косинуса угла между векторами (определение
скалярного произведения и формула (3.12)):
ba
ba
=ϕcos
222222
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
++++
+
+
=ϕ⇒
.
3. Нахождение проекции вектора на вектор (формулы (3.11) и
(3.12)):
a
ba
b
a
=пр
222
пр
zyx
zzyyxx
a
aaa
bababa
b
++
++
=⇒
.
Рис. 3.16
A
D
B
C

Страницы