Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

50
Свойство 4. Из определения (3.16) следует:
2
0cos aaaaaaa ===
o
.
Теорема 3.6. Для того, чтобы два ненулевых вектора были ортого-
нальны (перпендикулярны), необходимо и достаточно, чтобы скалярное
произведение этих векторов было равно нулю:
0=⇔⊥ baba
.
Доказательство. Необходимость. Дано:
ba ⊥
. Пусть φ – угол меж-
ду векторами
a
и
b
, тогда
0cos
=
ϕ
и
0cos =ϕ= baba
.
Достаточность. Дано:
0=ba
. По определению (3.16)
ϕ= cosbaba
.
Из условия теоремы следует, что
,0,0 ≠≠ ba
поэтому
0cos
=
ϕ
. Тогда
2
π
=ϕ
или
2
3π
=ϕ
, т.е. векторы
a
и
b
ортогональны. Теорема доказана.
Теорема даёт признак ортогональности (
ba
⊥
) векторов
a
и
b
.
3.4.5. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Найдём формулу вычисления скалярного произведения векторов,
если векторы заданы координатами в базисе
{
}
kji ;;
. Пусть
(
)
zyxzyx
aaakajaiaa ;;=++=
,
(
)
zyxzyx
bbbkbjbibb ;;=++=
.
По свойствам скалярного произведения
(
)
(
)
++++++=
=++++=
jjbaijbakibajibaiiba
kbjbibkajaiaba
yyxyzxyxxx
zyxzyx
kkbajkbaikbakjba
zzyzxzzy
++++
.
Найдём скалярные произведения векторов прямоугольного декарто-
вого базиса. По свойствам скалярного произведения, учитывая, что они
являются попарно ортогональными векторами, имеем:
0,1 ========= jkikkjijkijikkjjii
.
В результате получим:
zzyyxx
babababa ++=
, (3.12)
т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответ-
ствующих координат этих векторов.

Страницы