Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

53
Доказательство прямого утверждения. Действительно, если векто-
ры
a
и
b
– коллинеарные (
ba ||
), то
)0(0sin π=ϕ∨=ϕ=ϕ
. В результате
получаем:
0sin =ϕ=
bac
∅=×⇒ ba
.
Доказательство обратного утверждения. Если ∅=×ba , то
0
=×ba лишь в одном из трёх случаев:
0
=a ,
0
=b или
0sin
=ϕ .
В первых двух случаях, поскольку нулевой вектор имеет произвольное
направление, имеем: ba
||
. В третьем случае ba
||
, так как
0
=ϕ (
π
=
ϕ
),
т.е. ba
||
. Теорема доказана.
Свойство 2. abba ×−=× (свойство антикоммутативности).
Доказательство (рис. 3.18). Если векторы a и b – коллинеарны, то
свойство очевидно, если неколлинеарны, то векторы ba × и ab× имеют
одинаковую длину
(
)
ababbaba ×=ϕ=ϕ=×
sinsin
и противонаправ-
лены. Действительно, ba × и ab× перпендику-
лярны плоскости векторов a и b , но тройка век-
торов a , b и ba× – правая, и если переставить
местами первые два вектора, то получается левая
тройка векторов b , a и ba× . При изменении
направления третьего вектора на противополож-
ное – изменяется ориентация векторов и теперь
тройка b
r
, a и – ba× – правая. То есть векторы
ba× и ab× имеют противоположные направления. Таким образом,
abba ×−=× . Свойство доказано.
Свойство 3.
(
)
(
)
baba
×λ=×λ
– скалярный множитель можно выно-
сить за знак векторного произведения.
Доказательство.
1. Пусть имеет место
(
)
(
)
0||
=λ∨
ba , тогда, очевидно, выполнено
свойство 3, так как
(
)
(
)
∅=×λ=×λ baba
.
2. Если
(
)
(
)
0||
=λ∨
ba не выполнено, то из условий определения 3.17
имеем:
1) векторы
(
)
ba ×λ
и
(
)
ba×λ
одинаковой длины (рис. 3.19), так как
( )
( )
( )
baba
ba
ba
ba ×λ=φλ=
>λφλ
<λφ−πλ
=×λ sin
0,sin
;0,sin
;
Рис. 3.18
ba ×
ab×
a
b
ϕ
ϕϕ
ϕ

Страницы