Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

54
2) вектор
(
)
ba ×λ
перпендикулярен плоскости векторов
aλ
и
b
, следо-
вательно, перпендикулярен и плоскости векторов
a
и
b
, так как
aa ||λ
;
вектор
(
)
ba ×λ
также перпендикулярен плоскости векторов
a
и
b
,
так как
(
)
baba ××λ ||
. Получаем коллинеарность
(
)
ba ×λ
и
(
)
ba ×λ
;
3) тройка векторов
{
}
baba ×,,
– правая:
• при
0
>
λ
тройка
(
)
{
}
baba ×λλ ,,
–
правая, ибо направление обхода векторов
{
}
ba ;
и
{
}
ba;λ
не меняется (рис. 3.19,
0
>
λ
);
• при
0
<
λ
имеет место соотношение
λ−=λ
. Тройка векторов
(
)
{
}
baba ×⋅λλ− ,, – левая, так как направ-
ление обхода меняется на противоположное – по часовой стрелке
(рис. 3.19,
0
<
λ
), а тройка
(
)
{
}
(
)
{
}
babababa ×λλ=×λ−λ− ,,,, – пра-
вая, так как изменилось направление третьего вектора.
Заметим, что и тройка векторов
(
)
{
}
baba ×λλ ,,
– правая. В резуль-
тате получим, что вектора
(
)
ba ×λ
и
(
)
ba ×λ
– сонаправлены (вектора
сонаправлены, если они параллельны и одинаково направлены), коллине-
арны и равны по длине, т.е. они равны. Свойство доказано.
Замечание. Для упрощения используется запись
(
)
baba ×λ=×λ
.
Свойство 4. Векторное произведение подчиняется дистрибутивному
закону:
cabacba ×+×=+×
. Без доказательства.
3.5.2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ
Найдём формулу вычисления векторного произведения, если векто-
ры заданы координатами:
(
)
zyxzyx
aaakajaiaa ;;=++=
;
(
)
zyxzyx
bbbkbjbibb ;;=++=
.
По свойствам векторного произведения (свойства 3, 4):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,kkbajkbaikbakjba
jjbaijbakibajibaiiba
kbjbibkajaiaba
zzyzxzzy
yyxyzxyxxx
zyxzyx
++++
+++++=
=++++=
(3.14)
где
∅=ii
,
∅=jj
,
∅=kk
(свойство 1); векторы
kji ,,
образуют
правую тройку, а их круговая перестановка (рис. 3.20) ориентации не меняет,
Рис. 3.19

Страницы