Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

56
Если векторы лежат на плоскости
Oxy
, т.е.
a
,
b
∈
2
R
,
(
)
yxyx
aajaiaa ;=+=
;
(
)
yxyx
bbjbibb ;=+=
,
то площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
и
b
, равна
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
bb
aa
bb
aa
k
bb
aa
k
bb
aa
kji
baS ====×=
0
0
пар
.
Геометрический смысл определителя второго порядка: модуль оп-
ределителя равен площади параллелограмма, построенного на векторах,
координаты которых расположены в строках определителя.
Пример 3.3. Найти площадь треугольника
ABC
:
(
)
)1;2(),4;3(,2;1
−− CBA
(рис. 3.21).
Решение. Площадь треугольника равна полови-
не площади параллелограмма, построенного на век-
торах
(
)
2;4=AB
и
(
)
1;1 −−=AC
, т.е.
12
2
1
11
24
2
1
2
1
2
1
пар
=−=
−−
=×== ACABSS
ABC
.
Ответ:
1=
ABC
S
.
3.6. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение 3.18. Смешанным произ-
ведением векторов
a
,
b
и
c
называется
число
cba
, равное скалярному произведе-
нию вектора
a
на векторное произведение
векторов
b
и
c
, т.е.
(
)
cbacba ×=
.
Геометрический смысл модуля сме-
шанного произведения – объём параллелепи-
педа, построенного на векторах
a
,
b
и
c
(см. рис. 3. 22):
(
)
(
)
cbacbaacbhSVahcbd
dd
=×=±×==⇒±=×= прпр,
осн
.
Знак «
±
» необходим, чтобы высота была положительной.
Найдём формулу для вычисления смешанного произведения векто-
ров, если векторы заданы координатами:
kcjcicckbjbibbkajaiaa
zyxzyxzyx
++=++=++= ,,
.
Рис. 3.21
В
А С
Рис. 3.22

Страницы