Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

58
Условие компланарности векторов
a
,
b
и
c
в координатной форме:
0=
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
.
С помощью смешанного произведения можно решать задачи на вы-
числение объёмов многогранников.
Задача 1. Вычисление объёма параллелепипеда, построенного на
векторах
a
,
b
и
c
, как на сторонах (рис. 3. 22):
cbahSV ==
оснпар
.
Задача 2. Вычисление объёма пирамиды, построен-
ной на векторах
a
,
b
и
c
, как на сторонах
bACaAB == ,
и cAD = (рис. 3.24):
.
6
1
3
1
пир
cbahSV
АВС
==
Пример 3.4. Вершины пирамиды находятся в точках
(
)
1;1;2 −−А
,
(
)
2;1;5 −В
,
(
)
3;0;3 −С
и
(
)
1;0;6 −D
. Найти объём пирамиды и высоту,
проведённую из вершины
D
.
Решение. На рисунке 3.24 изображена пирамида
ABCD
, в основании
которой – треугольник ABC . Объём пирамиды определим с помощью
смешанного произведения векторов
AB
,
AC
и
AD
. Вычислим предвари-
тельно их координаты:
(
)
(
)
(
)
.0;1;4;2;1;1;3;0;3 =−== ADACAB
Тогда
5,06123
6
1
014
211
303
6
1
6
1
пир
=+−=−== ADACABV
.
С другой стороны,
пар
пир
парпир
6
6
1
3
1
S
V
hhShSV
АВС
=⇒== .
Найдём площадь параллелограмма
пар
S
, построенного на векторах
AB
и
AC
, с помощью векторного произведения этих векторов:
113393393
211
303
222
пар
=++=++−=
−
=×= kji
kji
ACABS
.
Тогда
11
11
113
5,06
6
пар
пир
=
⋅
==
S
V
h
. Ответ:
5,0
пир
=V
;
11
11
=h
.
Рис. 3.24
A
B
C
D
h

Страницы