Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

57
Тогда
yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx
zyx
cc
bb
k
cc
bb
j
cc
bb
i
ccc
bbb
kji
cb +−==×
.
В результате получим формулу вычисления смешанного произведе-
ния в координатах:
( )
zyx
zyx
zyx
yx
yx
z
zx
zx
y
zy
zy
x
ccc
bbb
aaa
cc
bb
a
cc
bb
a
cc
bb
acbacba =+−=×=
. (3.16)
Учитывая формулу (3.16), получаем геометрический смысл опреде-
лителя третьего порядка: модуль определителя равен объёму параллеле-
пипеда, построенного на векторах, координаты которых расположены в
строках определителя.
Свойства смешанного произведения
Свойство 1. От перестановки местами двух векторов смешанное
произведение меняет знак:
abccbabcacbacabcba −=−=−= ,,
.
Свойство 2. При круговой перестановке (рис. 3. 20) векторов сме-
шанное произведение не меняется:
acbbaccba ==
.
Докажем свойства 1 и 2 , используя формулу (3.16) и п. 2.2.3:
,cab
ccc
aaa
bbb
ccc
bbb
aaa
cba
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
−=−==
.acb
aaa
ccc
bbb
ccc
aaa
bbb
ccc
bbb
aaa
cba
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
==−==
Свойство 3. Признак компланарности векторов.
Теорема 3.8. Три вектора компланарны тогда
и только тогда, когда их смешанное произведение
равно нулю.
Доказательство. Векторы
a
,
b
и
c
– ком-
планарны (т.е. лежат в одной или параллельных
плоскостях) тогда и только тогда, когда
(
)
acb ⊥×
(рис. 3. 23). Следовательно, по признаку ортого-
нальности, скалярное произведение
(
)
0=×cba
. Теорема доказана.
cb
r
r
×
a
r
c
r
b
r
Рис. 3.23
cb × a
b
c

Страницы