Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

67
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Пусть заданы
),,(
1111
zyxM
,
),,(
2222
zyxM
и
),,(
3333
zyxM
. Тогда урав-
нение плоскости, проходящей через эти три точки, находится как опреде-
литель третьего порядка:
0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
.
Пример 5.1. Найти общее уравнение и уравнение плоскости в отрез-
ках, проходящей через точки
(
)
(
)
(
)
5;4;1,4;2;2,3;2;1
3
2
1
−− MMM
.
Решение. Общее уравнение плоскости находим из соотношения
012642
222
103
321
352411
342221
321
=+−+−=
−
−
−−−
=
−−−−
−−−−
−−−
zyx
zyxzyx
.
Уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид:
1
2)3(6
)12(12642 =+
−
+⇒−−=−+−
zyx
zyx M
.
Замечание: точками пересечения данной плоскости с осями коорди-
нат будут следующие
(
)
(
)
(
)
2;0;0,0;3;0,0;0;6
−
.
Ответ. Общее уравнение плоскости:
0632
=
+
+
−
zyx
. Уравнение
плоскости в отрезках:
1
2)3(6
=+
−
+
zyx
.
Расстояние от точки до плоскости. Постановка задачи: найти рас-
стояние
d
от точки
);;(
000
z yxP
до плоскости
0
=
+
+
+
DCzByAx
.
Решение: фиксируем точку
),,(
111
zyxM
, принадлежащую плоскости, и
строим вектор
MP
(рис. 5.6). Искомое расстояние d равно абсолютной ве-
личине проекции вектора
MP
на нормальный вектор плоскости. Получаем:
n
nMP
MPd
n
r
== пр
,
где
(
)
CBAn ;;=
и
(
)
000
;; zzyyxxMP −−−=
.
Ответ:
222
000
CBA
DCzByAx
d
++
+++
=
.
Рис. 5.6

Страницы